Те элементы электрической цепи, для которых зависимость тока от напряжения I(U) или напряжения от тока U(I), а также сопротивление R, постоянны, называются линейными элементами электрической цепи. Соответственно и цепь, состоящая из таких элементов, именуется линейной электрической цепью.

Для линейных элементов характерна линейная симметричная вольт-амперная характеристика (ВАХ), выглядящая как прямая линия, проходящая через начало координат под определенным углом к координатным осям. Это свидетельствует о том, что для линейных элементов и для линейных электрических цепей строго выполняется.

Кроме того речь может идти не только об элементах, обладающих чисто активными сопротивлениями R, но и о линейных индуктивностях L и емкостях C, где постоянными будут зависимость магнитного потока от тока - Ф(I) и зависимость заряда конденсатора от напряжения между его обкладками - q(U).

Яркий пример линейного элемента - . Ток через такой резистор в определенном диапазоне рабочих напряжений линейно зависит от величины сопротивления и от приложенного к резистору напряжения.

Нелинейные элементы

Если же для элемента электрической цепи зависимость тока от напряжения или напряжения от тока, а также сопротивление R, непостоянны, то есть изменяются в зависимости от тока или от приложенного напряжения, то такие элементы называются нелинейными, и соответственно электрическая цепь, содержащая минимум один нелинейный элемент, окажется .

Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента уже не является прямой линией на графике, она непрямолинейна и часто несимметрична, как например у полупроводникового диода. Для нелинейных элементов электрической цепи закон Ома не выполняется.

В данном контексте речь может идти не только о лампе накаливания или о полупроводниковом приборе, но и о нелинейных индуктивностях и емкостях, у которых магнитный поток Ф и заряд q нелинейно связаны с током катушки или с напряжением между обкладками конденсатора. Поэтому для них вебер-амперные характеристики и кулон-вольтные характеристики будут нелинейными, они задаются таблицами, графиками или аналитическими функциями.

Пример нелинейного элемента - лампа накаливания. С ростом тока через нить накаливания лампы, ее температура увеличивается и сопротивление возрастает, а значит оно непостоянно, и следовательно данный элемент электрической цепи нелинеен.

Для нелинейных элементов свойственно определенное статическое сопротивление в каждой точке их ВАХ, то есть каждому отношению напряжения к току, в каждой точке на графике, - ставится в соответствие определенное значение сопротивления. Оно может быть посчитано как тангенс угла альфа наклона графика к горизонтальной оси I, как если бы эта точка лежала на линейном графике.

Еще у нелинейных элементов есть так называемое дифференциальное сопротивление, которое выражается как отношение бесконечно малого приращения напряжения - к соответствующему изменению тока. Данное сопротивление можно посчитать как тангенс угла между касательной к ВАХ в данной точке и горизонтальной осью.

Такой подход делает возможным простейший анализ и расчет простых нелинейных цепей.

На рисунке выше показана ВАХ типичного . Она располагается в первом и в третьем квадрантах координатной плоскости, это говорит нам о том, что при положительном или отрицательном приложенном к p-n-переходу диода напряжении (в том или ином направлении) будет иметь место прямое либо обратное смещение p-n-перехода диода. С ростом напряжения на диоде в любом из направлений ток сначала слабо увеличивается, а после резко возрастает. По этой причине диод относится к неуправляемым нелинейным двухполюсникам.

На этом рисунке показано семейство типичных ВАХ в разных условиях освещенности. Основной режимом работы фотодиода - режим обратного смещения, когда при постоянном световом потоке Ф ток практически неизменен в довольно широком диапазоне рабочих напряжений. В данных условиях модуляция освещающего фотодиод светового потока, приведет к одновременной модуляции тока через фотодиод. Таким образом, фотодиод - это управляемый нелинейный двухполюсник.

Это ВАХ , здесь видна ее явная зависимость от величины тока управляющего электрода. В первом квадранте - рабочий участок тиристора. В третьем квадранте начало ВАХ - малый ток и большое приложенное напряжение (в запертом состоянии сопротивление тиристора очень велико). В первом квадранте ток велик, падение напряжения мало - тиристор в данный момент открыт.

Момент перехода из закрытого - в открытое состояние наступает тогда, когда на управляющий электрод подан определенный ток. Переключение из открытого состояния - в закрытое происходит при снижении тока через тиристор. Таким образом, тиристор - это управляемый нелинейный трехполюсник (как и транзистор, у которого ток коллектора зависит от тока базы).

При действии в цепи постоянных ЭДС и напряжений значение постоянного тока в ней определяется сопротивлениями и проводимостями G элементов цепи, т.е. эти параметры являются основными. Что касается ёмкости и индуктивности, то они в случае нелинейных цепей постоянного тока играют роль лишь при решении вопроса об устойчивости режима в такой цепи. Но и в цепи переменного тока для многих нелинейных элементов основное значение имеют их сопротивление и проводимость. В связи с этим рассмотрим такие нелинейные элементы и их характеристики, основными параметрами которых являются сопротивление и проводимость.

Для элемента, характеризуемого постоянным сопротивлением, ВАХ – прямая линия (рис. 9.1).

Характеристики нелинейных элементов принято подразделять на статические и динамические. Под статическими понимаются характеристики, полученные при очень медленном (бесконечно медленном) изменении тока или напряжения. Динамические характеристики дают связь между напряжением и током при быстрых их изменениях. Эти характеристики могут отличаться от статических, например, вследствие тепловой инерции.

Существуют понятия статического и динамического сопротивлений, а также статической и динамической проводимостей. Под статическим сопротивлением (R c) при данном токе называется отношение напряжения, соответствующее указанному току по статической характеристике, к величине этого тока (рис. 9.2). Величина, обратная статическому сопротивлению, называется статической проводимостью.

, υ, a – масштабы напряжения и тока.

Под динамическим сопротивлением (R д) в данной точке динамической характеристики называется производная напряжения по току в указанной точке динамической характеристики. Величина, обратная динамическому сопротивлению, называется динамической проводимостью (G д). Пусть динамическая характеристика совпадает со статической. Тогда динамическое сопротивление можно определить из приведённой статической характеристики следующим образом:

Где β – угол наклона касательной к динамической характеристике к оси абсцисс.

Все указанные параметры R ст, R д, меняются от точки к точке, т.е. зависят от тока. Для пассивных элементов, т.е. не содержащих источников энергии, всегда R c > 0, G c > 0 , но R д , G д положительны только для точек, лежащих на восходящей части характеристики и отрицательны для точек падающей части (рис. 9.3).

9.2. Вольт-амперные характеристики некоторых нелинейных элементов

1. Полупроводниковый диод, его ампер-вольтная характеристика приведена на рис. 9.4.

2. В технике высокого напряжения находят применение тиритовые нелинейные элементы, выполненные из керамического материала – тирита. Характеристика тирита имеет вид (рис. 9.5)

Сопротивление тирита с увеличением напряжения падает, т.е. проводимость увеличивается. Такая зависимость проводимости от напряжения позволяет использовать тиритовые элементы для защиты установок высокого напряжения электрических станций, трансформаторов подстанций и т.д. от перенапряжений. Устанавливают так называемые тиритовые разрядники (Т) (рис. 9.6), включённые через искровой промежуток и параллельно с защищаемой установкой (N ) между линией переменного тока высокого напряжения (ВН) и землёй.

При номинальном напряжении искровой промежуток не пробит и через разрядник ток не проходит. При превышении номинального напряжения искровой промежуток пробивается и через разрядник проходит большой ток, т.е. с повышением напряжения сопротивление его резко падает. В итоге линия (ВН) разряжается на тиритовый разрядник (Т) и напряжение на линии падает. При этом сопротивление разрядника возрастает, и ток через него падает. Резкое уменьшение тока приводит к прекращению разряда в искровом промежутке и, следовательно, к прекращению тока в цепи разрядника.

3. Большое практическое значение имеет электрическая дуга, являющаяся нелинейным элементом электрических цепей. На рис. 9.7 схематично изображена электрическая дуга, горящая в воздухе при атмосферном давлении между угольными электродами.

Активная часть катода (К), излучающая электроны ē , имеет температуру ~ 3000°С. Часть А анода, бомбардируемая электронами ē , имеет температуру ~ 4000°С. Между активными частями К и А располагается сама дуга Д, температура которой ~ 5000°С. В области дуги газ находится в ионизированном состоянии, основными носителями тока являются ē .

В настоящее время как источник света электрическая дуга используется в прожекторах и проекционных аппаратах. В металлургии мощные дуги применяются в дуговых печах. Большое распространение получила электросварка электрической дугой.

Электрическая дуга имеет нелинейную характеристику, которая показана на рис. 9.8.

Можно видеть, что с увеличением тока, напряжение дуги падаeт.

9.3. Расчёт простых цепей с пассивными нелинейными

элементами

Графический метод расчета.

а) Последовательное соединение нелинейных элементов.

Характеристики нелинейных элементов , даны в виде графиков на рис. 9.10.

В данном случае по законам Кирхгофа можно записать , .

Поэтому, складывая ординаты характеристик и , находим характеристику . Располагая этой характеристикой, нетрудно найти ток i , u 1 , u 2 для любого режима.

Например, для напряжения u=u* (рис. 9.10).

Этот метод может быть распространён на случай любого числа последовательно соединенных нелинейных и линейных элементов.

б) Случай параллельного соединения нелинейных элементов (рис. 9.11).

Характеристики нелинейных элементов u 1 =F 1 (i 1), u 2 =F 2 (i 2) приведены на рис. 9.12.

В этом случае в соответствии с законами Кирхгофа имеем i=i 1 +i 2 ,

Поэтому, складывая абсциссы кривых и , получаем характеристику .

в) Рассмотрим смешанное соединение (рис. 9.13).

Характеристики нелинейных элементов известны (рис. 9.14). Вольт-амперная характеристика линейного сопротивления записывается следующим образом: .

Согласно законам Кирхгофа, имеем уравнения , , .

Складываем сначала ординаты кривых . Получаем кривую .

Складывая затем абсциссы кривых и , получим зависимость . Располагая приведёнными кривыми, можно найти все напряжения и токи, если задано одно из этих напряжений или один из этих токов.

г). Расчёт простых нелинейных цепей, содержащих источники ЭДС (рис. 9.15).

Заданы характеристика ,величина и направление ЭДС “e ”.

По второму закону Кирхгофа с учётом направления обхода имеем:

Пусть e bc >0. Тогда имеем случай, показанный на рис. 9.16. Случаю, когда e bc <0, соответствует рис. 9.17.

Т.о. учёт ЭДС можно произвести путём соответствующего смещения характеристики нелинейного элемента, включённого с источником ЭДС последовательно. Поэтому расчёт нелинейных цепей, содержащих источники ЭДС, производится теми же методами, что и расчёт пассивных нелинейных цепей.

Известны ; величины и направления ЭДС e 1 > 0, e 2 > 0(рис. 9.19, 9.20).

Задаёмся направлением токов во всех ветвях. Строим выше указанным способом результирующую характеристику всех ветвей.

(рис. 9.19), (рис. 9.20).

Складываем абсциссы кривых , , находим (рис. 9.21).

9.4. Расчёт простых нелинейных цепей постоянного тока итерационным методом

Термин «итерация» происходит от латинского слова и означает «повторение».

Для расчёта цепей с нелинейными элементами очень часто применяют итерационный метод решения нелинейных алгебраических уравнений.

Для уяснения сущности метода рассмотрим эквивалентную схему, на которой источник ЭДС Е и сопротивление r в (рис. 9.22) представляют произвольную линейную часть первоначальной схемы, т.е. представляют некоторый эквивалентный источник.

Пусть внешняя характеристика эквивалентного источника совпадает с прямой 1 (рис. 9.23), а характеристика нелинейного элемента даётся кривой 2.

Если решение производить геометрическим путем, то точка “а ” пересечения характеристик определяет режим цепи, т.е. напряжение и ток в этом режиме.

Если данную задачу решать численным способом, например итерационным методом, необходимо поступить следующим образом:

1. Совершаем, так называемое, нулевое приближение. Для этого задаём напряжение U 0 равное, например, Е и по кривой 2 находим ток I 0 .

Характеристики большинства реальных элементов в той или иной степени нелинейны. В одних случаях нелинейность элементов невелика и при построении упрощенной модели ею можно пренебречь, в других – нелинейностью пренебречь нельзя. Более того, функционирование большинства радиоэлектронных устройств, невозможно без нелинейных элементов (выпрямление, умножение, ограничение, генерирование и т.д.).

Реальные нелинейные элементы подразделяются на безинерционныеи инерционные. Если зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения элементов при периодическом воздействии определяется статической вольт - амперной характеристикой (ВАХ), то элемент относится к безинерционнымнелинейным элементам. Если статическая ВАХ и динамическая, снятая при частоте, равной или меньшей рабочей, не совпадают, то такой элемент следует рассматривать какинерционный.

Таким образом, инерционный нелинейный элемент является линейным относительно мгновенных значений тока и напряжения, а ВАХ, связывающая действующие значения оказывается нелинейной. Безинерционные элементы являются нелинейными как в отношении мгновенных значений , , так и в отношении действующих и .

В зависимости от числа внешних выводов различают нелинейные элементы двухполюсные (диоды, термисторы) имногополюсные (транзисторы, триоды, пентоды). Вольт - амперная характеристика нелинейного двухполюсного элемента может быть симметричной или несимметричной. ВАХ двухполюсника с симметричной характеристикой представлена на рис.1. Для нее выполняется условие:

Очевидно, что режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного элемента с симметричной характеристикой поменять местами. Если условие (1) не выполняется, ВАХ – несимметрична.

Отношение напряжения, измеряемого отрезком АВ к току, измеряемому отрезком ОВ (см.рис.1.), определяет в некотором масштабе статическое сопротивление R в точке А.

(2)

Предел отношения приращения напряжения на участке цепи к приращению тока в нем или производная от напряжения по току в том же масштабе , определяет дифференциальное сопротивление:

Различают нелинейные элементы с монотоннойи немонотоннойВАХ. Для монотонныхВАХ или всегда больше нуля.

Немонотонные характеристики разделяются на N-и S-типы. У элементов с N-образной характеристикой (рис. 2.а) одному и тому же значению тока может соответствовать несколько различных напряжений. У S-образнойВАХ одному значению напряжения может соответствовать несколько токов (рис. 2.б).

Рис.2. ВАХ различных нелинейных элементов

а) немонотонная N-типа; б) немонотонная S – типа;

в) ВАХ неэлектрически управляемого двухполюсника - термистора.

Вид ВАХ нелинейного элемента может зависеть от некоторой величины, не связанной с токами и напряжениями цепи, в которую включен элемент, в частности от температуры (рис. 2.в), освещенности, давления и т.д. Такие элементы относятся кнеэлектрически управляемым двухполюсникам.

Рис.3. Электрически управляемый элемент

Нелинейные элементы можно разделить на три группы: нели­нейные активные сопротивления r, нелинейные индуктивности L и нелинейные емкости С. Примером нелинейных активных сопро­тивлений являются вакуумные и полупроводниковые диоды и триоды, нелинейных индуктивностей - индуктивные катушки и трансформаторы с магнитопроводом, нелинейных емкостей - кон­денсаторы с диэлектриком из сегнетоэлектрика.

В каждой из этих групп нелинейные элементы, в свою очередь, можно разделить на два класса: неуправляемые и управляемые нелинейные элементы.

Неуправляемые нелинейные элементы всегда можно предста­вить в виде двухполюсника. Ток этого двухполюсника зависит только от напряжения, приложенного к его зажимам. Такой нели­нейный элемент характеризуется одной вольт-амперной характери­стикой. Примером неуправляемого нелинейного сопротивления яв­ляется вакуумный или полупроводниковый диод.

Управляемые нелинейные элементы обычно являются многопо­люсниками. Ток в главной цепи такого элемента зависит не только от напряжения, приложенного к главной цепи, но и от других па­раметров (управляющих факторов). Управляющие факторы могут быть электрическими и неэлектрическими. Примерами управляе­мых нелинейных элементов с электрическим управляющим фак­тором являются многоэлектродные электронные лампы и магнит-

ные усилители. Примером управляемого нелинейного сопротивле­ния с неэлектрическим управляющим фактором является фоторе­зистор, величина тока через который зависит от величины осве­щенности.

Неуправляемые нелинейные активные сопротивления по прин­ципу тепловой инерционности можно разделить на две группы: инерционные и безынерционные.

Примером инерционных сопротивлений являются лампы нака­ливания и термисторы. У этих элементов существенно нелинейной является зависимость только между действующими или амплитуд­ными значениями токов и напряжений. Из-за тепловой инерцион­ности за время периода синусоидального тока сопротивление этих элементов меняется несущественно. Поэтому с достаточной для практики точностью можно считать, что зависимость между мгно­венными значениями тока и напряжения в пределах одного пе­риода является линейной.

Примером безынерционных сопротивлений являются ламповые и полупроводниковые диоды и триоды при не очень высоких часто­тах. Здесь характеристики нелинейны как для действующих, так и для мгновенных значений токов и напряжений.

Следует отметить, что все реальные элементы электрических цепей обладают некоторой нелинейностью. Поэтому деление элек­трических цепей на линейные и нелинейные является условным. Элемент цепи может считаться линейным или нелинейным в зави­симости от степени нелинейности и той задачи, которая ставится при рассмотрении данной цепи.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Г.И. НОСОВА»

КАФЕДРА ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ И ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

О.И. Петухова, Л.В. Яббарова, Ю.И. Мамлеева

МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

1.1. Нелинейные элементы и их характеристики 3

1.2.3. Расчет цепей при смешанном соединении элементов 7

1.2.4. Преобразование активных нелинейных двухполюсников 8

1.2.5. Анализ разветвленных цепей 10

1.3. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов 12

1.3.1. Выбор аппроксимирующей функции 12

1.3.3. Аппроксимация ВАХ в окрестностях рабочей точки 18

2. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ 19

2.1. Основные понятия 19

2.2. Законы Ома и Кирхгофа для магнитных цепей 21

2.3. Расчет магнитных цепей постоянного тока 23

3.1. Особенности периодических процессов в электрических цепях с инерционными нелинейными элементами 27

3.2. Особенности периодических процессов в цепях с безинерционными нелинейными сопротивлениями 30

3.3. Электромагнитные процессы в катушке с ферромагнитным сердечником 31

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

1.1. Нелинейные элементы и их характеристики

Характеристики большинства реальных элементов в той или иной степени нелинейны. В одних случаях нелинейность элементов невелика и при построении упрощенной модели ею можно пренебречь, в других – нелинейностью пренебречь нельзя. Более того, функционирование большинства радиоэлектронных устройств, невозможно без нелинейных элементов (выпрямление, умножение, ограничение, генерирование и т.д.).

Реальные нелинейные элементы подразделяются на безинерционныеи инерционные. Если зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения элементов при периодическом воздействии определяется статической вольт - амперной характеристикой (ВАХ), то элемент относится к безинерционнымнелинейным элементам. Если статическая ВАХ и динамическая, снятая при частоте, равной или меньшей рабочей, не совпадают, то такой элемент следует рассматривать какинерционный.

Таким образом, инерционный нелинейный элемент является линейным относительно мгновенных значений тока и напряжения, а ВАХ, связывающая действующие значения оказывается нелинейной. Безинерционные элементы являются нелинейными как в отношении мгновенных значений
,
, так и в отношении действующихи.

В зависимости от числа внешних выводов различают нелинейные элементы двухполюсные (диоды, термисторы) имногополюсные (транзисторы, триоды, пентоды). Вольт - амперная характеристика нелинейного двухполюсного элемента может быть симметричной или несимметричной. ВАХ двухполюсника с симметричной характеристикой представлена на рис.1. Для нее выполняется условие:

,
. (1)

Очевидно, что режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного элемента с симметричной характеристикой поменять местами. Если условие (1) не выполняется, ВАХ – несимметрична.

Отношение напряжения, измеряемого отрезком АВ к току, измеряемому отрезком ОВ (см.рис.1.), определяет в некотором масштабе
статическое сопротивлениеR в точке А.

(2)

Предел отношения приращения напряжения на участке цепи к приращению тока в нем или производная от напряжения по току в том же масштабе
, определяет дифференциальное сопротивление:

. (3)

Различают нелинейные элементы с монотоннойи немонотоннойВАХ. Для монотонныхВАХ иливсегда больше нуля.

Немонотонные характеристики разделяются на N-и S-типы. У элементов с N-образной характеристикой (рис. 2.а) одному и тому же значению тока может соответствовать несколько различных напряжений. У S-образнойВАХ одному значению напряжения может соответствовать несколько токов (рис. 2.б).

Рис.2. ВАХ различных нелинейных элементов

а) немонотонная N -типа; б) немонотонная S – типа;

в) ВАХ неэлектрически управляемого двухполюсника - термистора.

Вид ВАХ нелинейного элемента может зависеть от некоторой величины, не связанной с токами и напряжениями цепи, в которую включен элемент, в частности от температуры (рис. 2.в), освещенности, давления и т.д. Такие элементы относятся кнеэлектрически управляемым двухполюсникам.

Рис.3. Электрически управляемый элемент

а) транзистор; б) семейство входных ВАХ;

в) семейство выходных ВАХ.

Важнейший класс нелинейных элементов составляют электрическиуправляемые элементы(транзисторы, тиристоры, и т.д.). Они имеют два основных электрода и один управляющий (рис.3.а). Ток элемента определяется уравнениями:

или
. (4)

Выводы нелинейного управляемого трёхполюсника образуют с остальной частью цепи два контура – основной (выходной) и управляющий (входной).

Управляемые элементы характеризуются семействами ВАХ: выходными и входными. (рис.3.б,с)

Вид ВАХ нелинейного управляемого элемента существенно зависит от схемы включения элемента, т.е. от того какой из электродов является общим для основного и управляющего контуров. На принципиальных электрических схемах реальные нелинейные элементы изображаются с помощью установленных ЕСКД условных графических обозначений (рис.4).

Рис.4 Обозначения нелинейных элементов