Точки линии и поверхности разрыва. Поверхность разрыва. Движение идеальной несжимаемой жидкости

В начертательной геометрии поверхность рассматривают как множество последовательных положений движущейся линии или другой поверхности в пространстве. Линию, перемещающуюся в пространстве и образующую поверхность, называют образующей. Образующие могут быть прямыми и кривыми. Кривые образующие могут быть постоянными и переменными, например закономерно изменяющимися.

Одна и та же поверхность в ряде случаев может рассматриваться как образованная движениями различных образующих. Например, круговой цилиндр может быть образован: во-первых, вращением прямой относительно неподвижной оси, параллельной образующей; во-вторых, движением окружности, центр которой перемещается по прямой, перпендикулярной плоскости окружности; в-третьих, прямолинейным движением сферы.

При изображении поверхности на чертеже показывают лишь некоторые из множества возможных положений образующей. На рис. 8.1 показана поверхность образующей АВ. При своем движении образующая остается параллельной направлению MN и одновременно пересекает некоторую кривую линию CDE. Таким образом, движение образующей AB направляется в пространстве линией CDE.

Линию или линии, пересечение с которыми является обязательным условием движения образующей при образовании поверхности, называют направляющей или направляющими.

На рис. 8.2 показана поверхность, образованная движением прямой AB по двум направляющим – прямой O1 <⅞ (ABE O iO 2) и пространственной кривой FGL, не пересекающей прямую O10 2.

Иногда в качестве направляющей используют линию, по которой движется некоторая характерная для образующей точка, но не лежащая на ней, например центр окружности.

Из различных форм образующих, направляющих, а также закономерностей образования конкретной поверхности выбирают те, которые являются наиболее простыми и удобными для изображения на чертеже поверхности и решения задач, связанных с нею.

Иногда для задания поверхности используют понятие "определитель поверхности", под которым подразумевают совокупность независимых условий, однозначно задающих поверхность. В числе условий, входящих в состав определителя, различают геометрическую часть (точки, линии, поверхности) и закон (алгоритм) образования поверхности геометрической частью определителя.

Рассмотрим краткую классификацию кривых поверхностей, принятую в начертательной геометрии.

Линейчатые развертываемые поверхности. Поверхность, которая может быть образована прямой линией, называют линейчатой поверхностью. Если линейчатая поверхность может быть развернута так, что всеми своими точками она совместится с плоскостью без каких-либо повреждений поверхности (разрывов или складок), то ее называют развертываемой. К развертываемым поверхностям относятся только такие линейчатые поверхности, у которых смежные прямолинейные образующие параллельны или пересекаются между собой, или являются касательными к некоторой пространственной кривой. Все остальные линейчатые и все нелинейчатые поверхности относятся к неразвертываемым поверхностям.

Развертываемые поверхности – цилиндрические, конические, с ребром возврата или торсовые. У цилиндрической поверхности образующие всегда параллельны, направляющая – одна кривая линия. Изображение на чертеже ранее показанной в пространстве цилиндрической поверхности (см. рис. 8.1) представлено на рис. 8.3. Частные случаи – прямой круговой цилиндр, наклонный круговой цилиндр (см. рис. 9.17, направляющая-окружность, плоскость которой расположена под углом к оси цилиндра и с центром на его оси). У конических поверхностей все прямолинейные образующие имеют общую неподвижную точку – вершину, направляющая – одна любая кривая линия. Пример изображения конической

поверхности на чертеже – рис. 8.4, проекции вершины G", G", направляющей C"D"E", C"D"E". Частные случаи – прямой круговой конус, наклонный круговой конус – см. рис. 10.10, справа. У поверхностей с ребром возврата или торсовых прямолинейные образующие касательны к одной криволинейной направляющей.

Линейчатые неразвертываемые поверхности: цилиндроид, коноид, гиперболический параболоид (косая плоскость). Поверхность, называемая цилиндроидом, образуется при перемещении прямой линии, во всех своих положениях сохраняющей параллельность некоторой заданной плоскости ("плоскости параллелизма") и пересекающей две кривые линии (две направляющие). Поверхность, называемая коноидом, образуется при перемещении прямой линии, во всех своих положениях сохраняющей параллельность некоторой плоскости ("плоскости параллелизма") и пересекающей две направляющие, одна из которых кривая, а другая – прямая линия (рис. 8.5, см. также рис. 8.2). Плоскостью параллелизма на рис. 8.5 является плоскость π1;

направляющие – кривая с проекциями E"G"F", E"G"F", прямая с проекциями О",0", О" ,0. В частном случае, если криволинейная направляющая – цилиндрическая винтовая линия с осью, совпадающей с прямолинейной направляющей, образуемая поверхность – винтовой коноид, рассматриваемый ниже. Чертеж гиперболического параболоида, называемого косой плоскостью, приведен на рис. 8.6. Образование этой поверхности можно рассматривать как результат перемещения прямолинейной образующей по двум направляющим – скрещивающимся прямым параллельно некоторой плоскости параллелизма. На рис. 8.6 плоскость параллелизма – плоскость проекции яь направляющие – прямые с проекциями M"N", M"N" и F"G", F"G".

Нелинейчатые поверхности. Их подразделяют на поверхности с постоянной образующей и с переменной образующей.

Поверхности с постоянной образующей в свою очередь подразделяют на поверхности вращения с криволинейной образующей, например сфера, тор, эллипсоид вращения и др., и на циклические поверхности, например поверхности изогнутых труб постоянного сечения, пружин.

Поверхности с переменной образующей подразделяют на поверхности второго порядка, циклические с переменной образующей, каркасные. Чертеж поверхности второго порядка – эллипсоида приведен на рис. 8.7. Образующая эллипсоида – деформирующийся эллипс. Две направляющие – два пересекающихся эллипса, плоскости которых ортогональны и одна ось – общая. Образующая пересекает направляющие в крайних точках своих осей.

Плоскость образующего эллипса при перемещении остается параллельной плоскости, образованной двумя пересекающимися осями направляющих эллипсов.

Циклические поверхности с переменной образующей имеют образующую – окружность переменного радиуса, направляющую – кривую, по которой перемещается центр образующей, плоскость образующей перпендикулярна направляющей. Каркасную поверхность задают не движущейся образующей, а некоторым количеством линий на поверхности.

Обычно такие линии – плоские кривые,

плоскости которых параллельны между собой. Две группы таких линий пересекают друг друга и образуют линейчатый каркас поверхности. Точки пересечения линий образуют точечный каркас поверхности. Точечный каркас поверхности может быть задан и координатами точек поверхности. Каркасные поверхности широко используют при конструировании корпусов судов, самолетов, автомобилей, баллонов электронно-лучевых трубок.

Из указанных поверхностей рассмотрим более подробно винтовую.

Линии разрыва (fault). Данная операция позволяет отрисовать структурную линию, которая в каждой точке имеет две отметки. Такая структурная линия называется линией разрыва. Пример линии разрыва – подпорная стенка и бордюр (борт, для питерцев – поребрик:)). Подписать двойные отметки на бордюре можно специальной командой .

При вызове функции выводится диалоговое окно, где необходимо указать требуемые параметры.

При выборе "Брать фиксированное значение отметки" введите численное значение отметки.

При выборе "Брать по Поверхности" выберите из списка имя существующей поверхности.

Тип линии разрыва – левая или правая.

Совет. При установке флажка «Сохранять значение разности отметок» – отметка верха определяется таким образом: к отметке низа добавляется значение разности, и отметка верха становится нередактируемой. Если же необходимо ее отредактировать, то отключите флажок разностей и включите флажок этой отметки – она станет доступна для редактирования.

Значения отметок и разности можно контролировать и редактировать в диалоговом окне:

Это окно появляется после того, как на запрос программы "Введите первую точку или [оПции(P)]:" указана точка.

Запоминается, в каком из значений был ввод. При следующем вызове окна ввод начинается с запомненного поля.

Имеется возможность отключать отметку, которая неизвестна, – первый столбец флажков.

После ввода всей структурной линии неизвестные отметки рассчитываются исходя из значений известных отметок, если это возможно.

Последний столбец флажков – это базовая отметка для пересчета (имеет смысл привключенных слева флажках).

Если базовая отметка не изменяется, а изменяется одна из небазовых, то пересчитывается другая небазовая. А если базовая нижняя или верхняя и менять ее – меняется средняя; если базовая средняя и менять ее – по умолчанию меняется верхняя.

При выключении одного из флажков в первом столбце смысл базовой отметки теряется.

Имееется ряд радиокнопок, которые предлагают отметку для начального ввода. Если выбрана "Последняя", то предлагается последняя введенная отметка.

Линия разрыва – это специальный объект, геон. Смещение в плане между верхом и низом устанавливается в диалоговом окне "Установки поверхностей" в закладке "Установки структурных линий" в секции "Дополнительные параметры линий разрыва" с помощью параметра "Величина смещения линии разрыва при построении".

В конце отрисовки структурной линии сдвига появляется запрос-подтверждение такого вида:

"Укажите точкой сторону сдвига структурной линии <Линия разрыва (Правая)> или :".

Пользователь либо указывает сторону сдвига структурной линии точкой (для удобства ввода точки появляется резиновая линия от последней введенной точки структурной линии до указываемой точки), либо подтверждает тип сдвига, заданный первоначально (любой другой ввод).

При привязке (например, _Nea) привязка производится к низу структурной линии.

В структурную линию разрыва добавлены следующие возможности:

§ возможность привязки к верхней линии,

§ отображение стороны сдвига,

§ возможность задавать величину сдвига при построении поверхности (достаточно 0.01),

§ при команде _Explode она преобразовывается в две геолинии.

- ( ρ 1 , T 1 , v → 1 {\displaystyle \rho _{1},T_{1},{\vec {v}}_{1}} ), а справа - другие ( ρ 2 , T 2 , v → 2 {\displaystyle \rho _{2},T_{2},{\vec {v}}_{2}} ). При нестационарном движении среды поверхности разрыва не остаются неподвижными, их скорость может не совпадать со скоростью движения среды.

Физически произвольный разрыв не может существовать в течение конечного времени - это потребовало бы нарушения уравнений динамики. По этой причине, если в какой-то ситуации возникло состояние, описываемое произвольным разрывом, оно сразу же по возникновении начинает распадаться - см. задача Римана о распаде произвольного разрыва . При этом, в зависимости от того, в какой среде происходит явление, и как соотносятся между собой значения переменных состояния по разные стороны от разрыва, могут возникнуть различные комбинации нормальных разрывов и волн разрежения .

Условия

Ниже квадратными скобками обозначена разность величин по разные стороны поверхности

На поверхностях разрыва должны выполняться определенные соотношения:

1. На поверхности разрыва должен быть непрерывен поток вещества. Поток газа через элемент поверхности разрыва, отнесенный на единицу площади, должен быть одинаковым по величине по разные стороны от поверхности разрыва, то есть должно выполняться условие [ ρ u x ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}\right]=0} Направление оси x {\displaystyle x} выбрано нормальным к поверхности разрыва.
2. Должен быть непрерывным поток энергии, то есть должно выполняться условие [ ρ u x (u 2 2 + ε) ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\varepsilon \right)\right]=0}
3. Должен быть непрерывен поток импульса, должны быть равны силы, с которыми действуют друг на друга газы по обеим сторонам поверхности разрыва. Так как вектор нормали направлен по оси x, то непрерывность x {\displaystyle x} -компоненты потока импульса приводит к условию [ p + ρ u x 2 ] = 0 {\displaystyle \left=0} [ ρ u x u y ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}u_{y}\right]=0} и [ ρ u x u z ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}u_{z}\right]=0}

Уравнения выше представляют полную систему граничных условий на поверхности разрыва. Из них можно сделать вывод о существовании двух типов поверхностей разрыва.

Тангенциальные разрывы

Через поверхность разрыва нет потока вещества

{ ρ 1 u 1 x = ρ 2 u 2 x = 0 ρ 1 , ρ 2 ≠ 0 ⇒ u 1 x = u 2 x = 0 ⇒ p 1 = p 2 {\displaystyle {\begin{cases}\rho _{1}u_{1x}=\rho _{2}u_{2x}=0\\\rho _{1},\rho _{2}\neq 0\end{cases}}\Rightarrow \qquad u_{1x}=u_{2x}=0\qquad \Rightarrow p_{1}=p_{2}}

Таким образом, на поверхности разрыва в этом случае непрерывны нормальная компонента скорости и давление газа. Тангенциальные скорости u z {\displaystyle u_{z}} , u y {\displaystyle u_{y}} и плотность могут испытывать произвольный скачок. Такие разрывы называются тангенциальными .

Контактные разрывы - частный случай тангенциальных разрывов. Скорость непрерывна. Плотность испытывает скачок, а с ней и другие термодинамические величины, за исключением давления.

Ударные волны

Во втором случае поток вещества, а с ним и величины отличны от нуля. Тогда из условий:

[ ρ u x ] = 0 ; [ ρ u x u y ] = 0 ; [ ρ u x u z ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}\right]=0;\qquad \left[\rho u_{x}u_{y}\right]=0;\qquad \left[\rho u_{x}u_{z}\right]=0} [ u y ] = 0 {\displaystyle \left=0\quad } и [ u z ] = 0 {\displaystyle \quad \left=0}

тангенциальная скорость непрерывна на поверхности разрыва. Плотность, давление, а с ними и другие термодинамические величины испытывают скачок, причем скачки этих величин связаны соотношениями - условиями разрыва.

[ ρ u x (u 2 2 + ε) ] ; {\displaystyle \left[\rho u_{x}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\varepsilon \right)\right];} [ u y ] = 0 ; {\displaystyle \left=0;} [ u z ] = 0 {\displaystyle \left=0} [ ρ u x ] = 0 ; [ u x 2 2 + ε ] = 0 ; [ p + ρ u x 2 ] = 0 {\displaystyle \left[\rho u_{x}\right]=0;\qquad \left[{\frac {u_{x}^{2}}{2}}+\varepsilon \right]=0;\qquad \left=0}

Разрывы этого типа называют ударными волнами .

Скорость распространения разрыва

Для вывода соотношений на движущихся разрывах можно воспользоваться уравнениями

{ ∮ ∂ Ω ⁡ (ρ d x − ρ u d t) = 0 ∮ ∂ Ω ⁡ (ρ u d x − (p + ρ u 2) d t) = 0 ∮ ∂ Ω ⁡ (E d x − (p + E) d t) = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{array}{lll}\oint \limits _{\partial \Omega }(\rho \;d\,x-\rho u\;d\,t)&=&0\\\oint \limits _{\partial \Omega }(\rho u\;d\,x-(p+\rho u^{2})\;d\,t)&=&0\\\oint \limits _{\partial \Omega }(E\;d\,x-(p+E)\;d\,t)&=&0\\\end{array}}\end{cases}}} , ∮ ∂ Ω ⁡ (q d x − f d t) = 0 {\displaystyle \oint \limits _{\partial \Omega }(qdx-fdt)=0}

Газодинамический разрыв в одномерном нестационарном случае геометрически представляет собой кривую в плоскости. Построим контрольный объем возле разрыва так, чтобы две стороны контура, охватывающего этот объем, располагались параллельно разрыву по обеим сторонам разрыва, а две другие стороны были перпендикулярны разрыву. Записывая систему для данного контрольного объема, затем стягивая боковые стороны к нулю и пренебрегая величиной интеграла на этих сторонах, получим с учётом направления обхода контура и знаков приращений координат и вдоль сторон, примыкающих к разрыву:

∫ 1 − 2 (q d x − f d t) − ∫ 3 − 4 (q d x − f d t) = 0 {\displaystyle \int \limits _{1-2}(qdx-fdt)-\int \limits _{3-4}(qdx-fdt)=0} ∫ 1 − 2 (q d x d t − f) − ∫ 3 − 4 (q d x d t − f) = 0 {\displaystyle \int \limits _{1-2}(q{\frac {dx}{dt}}-f)-\int \limits _{3-4}(q{\frac {dx}{dt}}-f)=0}

Величина D = d x d t {\displaystyle D={\frac {dx}{dt}}} - скорость распространения разрыва

Соотношения на разрыве

Переходя к аппроксимациям интегралов по методу прямоугольников и используя обозначения для скачков величин на разрыве, получим систему соотношений:

[ ρ ] D − [ ρ u ] = 0 ; {\displaystyle \left[\rho \right]D-\left[\rho u\right]=0;} [ ρ u ] D − [ p + ρ u 2 ] = 0 ; {\displaystyle \left[\rho u\right]D-\left=0;} [ E ] D − [ u (E + p) ] = 0 ; {\displaystyle \leftD-\left=0;}

Примеры

Граница между двумя соударяющимися телами в момент соударения, в дальнейшем, в силу неустойчивости, произвольный разрыв распадается на два нормальных разрыва, движущихся в противоположные стороны.

Поверхностью уровня поля называют геометрическое место точек, в которых поле принимает постоянное значение. Согласно такому определению, уравнение поверхности уровня будет иметь вид: или

Кривые безразличия - представляют собой совокупность точек на координатной плоскости, каждая из которых является потребительским набором, обеспечивающим потребителю одинаковый уровень удовлетворения его потребностей. Кривая безразличия является графическим отображением набора безразличия

ВОПРОС 36. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Последовательные пределы.

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при и ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние, меньшее чем , выполняется неравенство

Обозначается предел

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.

На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.

ВОПРОС 37. Дифференцируемость функции и дифференциал первого порядка, частные дифференциалы и частные производные первого порядка.

ВОПРОС 38.Градиент и производная по направлению.

ВОПРОС 39.Производные и дифференциалы высших порядков. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных в моделировании таможенных процессов.

Предположим, что функция f"(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f""(x) или y(2), y""(x). Аналогично можно ввести понятие второй, третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:

y(n) = (y(n-1))". (6)

Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6).

Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница

(u(x)v(x))(n) = u(n)v+nu(n-1)v"+(n(n-1)/2)u(n-2)v""+...+ uv(n) =

Sk = 0nCnku(n-k)v(k),

Cnk = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.

Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.

Пример 9. Пусть y = ex(x2-1). Найти y(10). Положим u(x) = ex,

v(x) = (x2-1). Согласно формуле Лейбница

y(10) = (ex)(25)(x2-1)+10(ex)(9)(x2-1)"+(10· 9/2) (ex)(8)(x2-1)"",

так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому

y(10) = ex(x2-1)+10ex2x+(10· 9/2)ex (2) = ex(x2+20x+89)

Рассмотрим выражение для первого дифференциала

Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.

Определение 6 (дифференциал второго порядка). Значение d(dy) дифференциала от первого дифференциала (4) при d x = dx, называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d2y.

Таким образом,

d2y = d (dy)|d x = dx.

Дифференциал dny можно ввести по индукции.

ВОПРОС 40. Локальные и условные экстремумы функций нескольких переменных. Экстремальные задачи в моделировании таможенных процессов.

Локальный экстремум .

Пусть дана функция , определенная в открытой области пространства , и пусть точка .

Определение1. Точка называется точкой минимума функции если существует окрестность точки, в которой выполняется неравенство:

Т.е.

(аналогично точка максимума)