Дисперсионный анализ факторов

Факторная матрица

Переменная Фактор А Фактор Б

Как видно из матрицы, факторные нагрузки (или веса) А и Б для различных потребительских требований значительно отличаются. Факторная нагрузка А для требования Т 1 соответствует тесноте связи, характеризующейся коэффициентом корреляции, равным 0,83, т.е. хорошая (тесная) зависимость. Факторная нагрузка Б для того же требования дает r k = 0,3, что соответствует слабой тесноте связи. Как и предполагалось, фактор Б очень хоро­шо коррелируется с потребительскими требованиями Т 2 , Т 4 и Т 6 .

Учитывая, что факторные нагрузки как А, так и Б влияют на не относящиеся в их группу потребительские требования с теснотой связи не более 0,4 (т.е. слабо), можно считать, что представленная выше матрица интеркорреляций определяется двумя независимыми факторами, которые в свою очередь определяют шесть потребительских требований (за исключением Т 7).

Переменную Т 7 можно было выделить в самостоятельный фактор, так как ни с одним потребительским требованием она не имеет значимой корреляционной нагрузки (более 0,4). Но, на наш взгляд, этого не следует делать, так как фактор «дверь не должна ржаветь» не имеет непосредственного отношения к потребительским требованиям по конструкции двери.

Таким образом, при утверждении технического задания на проектирование конструкции дверей автомобиля именно названия полученных факторов будут вписаны как потребительские требования, по которым необходимо найти конструктивное решение в виде инженерных характеристик.

Укажем на одно принципиально важное свойство коэффициента корреляции между переменными: возведенный в квадрат, он показывает, какая часть дисперсии (разброса) признака является общей для двух переменных, насколько сильно эти переменные перекрываются. Так, например, если две переменные Т 1 и Т 3 с корреляцией 0,8 перекрываются со степенью 0,64 (0,8 2), то это означает, что 64% дисперсий той и другой переменной являются общими, т.е. совпадают. Можно также сказать, что общность этих переменных равна 64%.

Напомним, что факторные нагрузки в факторной матрице являются тоже коэффициентами корреляции, но между факторами и переменными (потребительскими требованиями).

Переменная Фактор А Фактор Б

Поэтому возведенная в квадрат факторная нагрузка (дисперсия) характеризует степень общности (или перекрытия) данной переменной и данного фактора. Определим степень перекрытия (дисперсию D) обоих факторов с переменной (потребительским требованием) Т 1 . Для этого необходимо вычислить сумму квадратов весов факторов с первой переменной, т.е. 0,83 х 0,83 + 0,3 х 0,3 = 0,70. Таким образом, общность переменной Т 1 с обоими факторами составляет 70%. Это достаточно значимое перекрытие.

В то же время низкая общность может свидетельствовать о том, что переменная измеряет или отражает нечто, качественно отличающеёся от других переменных, включенных в анализ. Это подразумевает, что данная переменная не совмещается с факторами по одной из причин: либо она измеряет другое понятие (как, например, переменная Т 7), либо имеет большую ошибку измерения, либо существуют искажающие дисперсию признаки.

Следует отметить, что значимость каждого фактора также определяется величиной дисперсии между переменными и факторной нагрузкой (весом). Для того чтобы вычислить собственное значение фактора, нужно найти в каждом столбце факторной матрицы сумму квадратов факторной нагрузки для каждой переменной. Таким образом, например, дисперсия фактора А (D А) составит 2,42 (0,83 х 0,83 + 0,3 х 0,3 + 0,83 х 0,83 + 0,4 х 0,4 + 0,8 х 0,8 + 0,35 х 0,35). Расчет значимости фактора Б показал, что D Б = 2,64, т.е. значимость фактора Б выше, чем фактора А.

Если собственное значение фактора разделить на число переменных (в нашем примере их семь), то полученная величина покажет, какую долю дисперсии (или объем информации) γ в исходной корреляционной матрице составит этот фактор. Для фактора А γ ~ 0,34 (34%), а для фактора Б - γ = 0,38 (38%). Просуммировав результаты, получим 72%. Таким образом, два фактора, будучи объединены, заполняют только 72% дисперсии показателей исходной матрицы. Это означает, что в результате факторизации часть информации в исходной матрице была принесена в жертву построения двухфакторной модели. В результате упущено 28% информации, которая могла бы восстановиться, если бы была принята шестифакторная модель.

Где же допущена ошибка, учитывая, что все рассмотренные пере­менные, имеющие отношение к требованиям по конструкции двери, учтены? Наиболее вероятно, что значения коэффициентов корреляции переменных, относящихся к одному фактору, несколько занижены. С учетом проведенного анализа можно было бы вернуться к формированию иных значений коэффициентов корреляции в матрице интеркорреляций (см. табл. 2.2).

На практике часто сталкиваются с такой ситуацией, при которой число независимых факторов достаточно велико, чтобы их все учесть в решении проблемы или с технической или экономической точки зрения. Существует ряд способов по ограничению числа факторов. Наиболее известный из них - анализ Парето. При этом отбираются те факторы (по мере уменьшения значимости), которые попадают в 80-85%-ную границу их суммарной значимости.

Факторный анализ можно использовать при реализации метода структурирования функции качества (QFD), широко применяемого за рубежом при формировании технического задания на новое изделие.

Факторный анализ - это ветвь математической статистики. Его цели, как и цель других разделов математической статистики, заключается в разработке моделей, понятий и методов, позволяющих анализировать и интерпретировать массивы экспериментальных или наблюдаемых данных вне зависимости от их физической формы.

Одной из наиболее типичных форм представления экспериментальных данных является матрица, столбцы которой соответствуют различным параметрам, свойствам, тестам и т.п., а строки - отдельным объектам, явлениям, режимам, описываемым набором конкретных значений параметров. На практике размеры матрицы оказываются достаточно большими: так, число строк этой матрицы может колебаться от нескольких десятков до нескольких сотен тысяч (например, при социологических обследованиях), а число столбцов - от одного - двух до нескольких сотен. Непосредственный, “визуальный”, анализ матриц такого размера невозможен, поэтому в математической статистике возникло много подходов и методов, предназначенных для того, чтобы “сжать” исходную информацию, заключенную в матрице, до обозримых размеров, извлечь из исходной информации наиболее “существенное”, отбросив “второстепенное”, “случайное”.

При анализе данных, представленных в форме матрицы, возникают два типа задач. Задачи первого типа имеют целью получить “короткое описание” распределения объектов, а задачи второго - выявить взаимоотношения между параметрами.

Следует иметь в виду, что основной стимул для появления указанных задач заключается не только и не столько в желании коротко закодировать большой массив чисел, а в значительно более принципиальном обстоятельстве, имеющем методологический характер: коль скоро удалось коротко описать большой массив чисел, то можно верить, что вскрыта некая объективная закономерность, обусловившая возможность короткого описания; а ведь именно поиск объективных закономерностей и является основной целью, ради которой, как правило, и собираются данные.

Упомянутые подходы и методы обработки матрицы данных отличаются тем, какого типа задачи обработки данных они предназначены решать, и тем, к матрицам какого размера они применимы.

Что же касается проблемы короткого описания связей между параметрами при среднем числе этих параметров, то в данном случае соответствующая корреляционная матрица содержит несколько десятков или сотен чисел и сама по себе она еще не может служить “коротким описанием” существующих связей между параметрами, а должна с этой целью подвергнуться дальнейшей обработке.

Факторный анализ как раз и представляет собой набор моделей и методов, предназначенных для “сжатия” информации, содержащейся в корреляционной матрице. В основе различных моделей факторного анализа лежит следующая гипотеза: наблюдаемые или измеряемые параметры являются лишь косвенными характеристиками изучаемого объекта или явления, на самом же деле существуют внутренние (скрытые, не наблюдаемые непосредственно) параметры или свойства, число которых мало и которые определяют значения наблюдаемых параметров. Эти внутренние параметры принято называть факторами. Задача факторного анализа - представить наблюдаемые параметры в виде линейных комбинаций факторов и, может быть, некоторых дополнительных, “не существенных” величин - “помех”. Замечательным является тот факт, что, хотя сами факторы не известны, такое разложение может быть получено и, более того, такие факторы могут быть определены, т.е. для каждого объекта могут быть указаны значения каждого фактора.

Факторный анализ, независимо от используемых методов, начинается с обработки таблицы интеркорреляций, полученных на множестве тестов, известной как корреляционная матрица, а заканчивается получением факторной матрицы, т.е. таблицы, показывающей вес или нагрузку каждого из факторов по каждому тесту. Таблица 1 представляет собой гипотетическую факторную матрицу, включающую всего два фактора.

Факторы перечисляются в верхней строке таблицы от более значимого к менее значимому, а их веса в каждом из 10 тестов даны в соответствующих столбцах.

Таблица 1

Гипотетическая факторная матрица

Оси координат. Принято представлять факторы геометрически в виде осей координат, относительно которых каждый тест может быть изображен в виде точки. Рис. 1 поясняет эту процедуру. На этом графике каждый из 10 тестов, приведенных в табл.1, отображен в виде точки относительно двух факторов, которые соответствуют осям I и II. Так, тест 1 представлен точкой с координатами 0,74 по оси I и 0,54 по оси II. Точки, представляющие остальные 9 тестов, построены аналогичным способом, с использованием значений весов из табл. 1.

Следует заметить, что положение осей координат не фиксировано данными. Исходная таблица корреляций определяет лишь положение тестов (т.е. точек на рис. 1) относительно друг друга. Те же точки можно нанести на плоскость с любым положением координатных осей. По этой причине при проведении факторного анализа обычно вращают оси до тех пор, пока не получают наиболее приемлемого и легко интерпретируемого отображения.

Рис. 1. Гипотетическое факторное отображение, показывающее веса двух групповых факторов по каждому из 10 тестов.

На рис. 1 полученные после вращения оси I" и II" показаны пунктирными линиями. Это вращение выполнено в соответствии с предложенными Терстоуном критериями положительного многообразия и простой структуры. Первый предполагает вращение осей до положения, при котором исключаются все значимые отрицательные веса. Большинство психологов считают отрицательные факторные нагрузки логически несоответствующими тестам способностей, так как такая нагрузка означает, что чем выше оценка индивидуума по специфическому фактору, тем ниже будет его результат по соответствующему тесту. Критерий простой структуры, в сущности, означает, что каждый тест должен иметь нагрузки по как можно меньшему числу факторов.

Выполнение обоих критериев дает факторы, которые можно наиболее легко и однозначно интерпретировать. Если тест имеет высокую нагрузку по одному фактору и не имеет значимых нагрузок по другим факторам, мы можем кое-что узнать о природе этого фактора, изучив содержание данного теста. Напротив, если тест имеет средние или низкие нагрузки по шести факторам, то он мало что скажет нам о природе любого из них.

На рис. 1 хорошо видно, что после вращения осей координат все вербальные тесты (1-5) располагаются вдоль или очень близко к оси I", а числовые тесты (6-10) тесно группируются вокруг оси II". Новые факторные нагрузки, измеренные относительно повернутых осей, приведены в табл. 2. Факторные нагрузки в табл. 2 не имеют отрицательных значений, за исключением пренебрежительно малых величин, явно относимых к ошибкам выборки. Все вербальные тесты имеют высокие нагрузки по фактору I" и практически нулевые - по фактору II". Числовые тесты, напротив, имеют высокие нагрузки по фактору II" и пренебрежимо низкие - по фактору I". Таким образом, вращение координатных осей существенно упростило идентификацию и называние обоих факторов, а также описание факторного состава каждого теста. На практике число факторов часто оказывается больше двух, что, разумеется, усложняет их геометрическое представление и статистический анализ, но не изменяет существа рассмотренной процедуры.

Таблица 2

Факторная матрица после вращения

Некоторые исследователи руководствуются теоретической моделью как принципом вращения осей. Кроме того, принимается в расчет неизменность, или подтверждение одних и тех же факторов в независимо выполненных, но сравнимых исследованиях.

Интерпретация факторов. Получив после процедуры вращения факторное решение (или, проще говоря, факторную матрицу), мы можем переходить к интерпретации и наименованию факторов. Этот этап работы скорее требует психологической интуиции, нежели статистической подготовки. Чтобы понять природу конкретного фактора, нам ничего не остается, как изучить тесты, имеющие высокие нагрузки по этому фактору, и попытаться обнаружить общие для них психологические процессы. Чем больше оказывается тестов с высокими нагрузками по данному фактору, тем легче раскрыть его природу. Из табл. 2, к примеру, сразу видно, что фактор I" вербальный, а фактор II" числовой. Приведенные в табл. 2 факторные нагрузки отображают к тому же корреляцию каждого теста с фактором.

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Идея факторного анализа

При исследовании сложных объектов, явлений, систем факторы, определяющие свойства этих объектов, очень часто невозможно измерить непосредственно, а иногда неизвестно даже их число и смысл. Но для измерения могут быть доступны другие величины, так или иначе зависящие от интересующих нас факторов. Причем, когда влияние неизвестного интересующего нас фактора проявляется в нескольких измеряемых признаках или свойствах объекта, эти признаки могут обнаруживать тесную связь между собой и общее число факторов может быть гораздо меньше, чем число измеряемых переменных.

Для выявления факторов, определяющих измеряемые признаки объектов, используются методы факторного анализа

В качестве примера применения факторного анализа можно указать изучение свойств личности на основе психологических тестов. Свойства личности не поддаются прямому измерению. О них можно судить только по поведению человека или характеру ответов на вопросы. Для объяснения результатов опытов их подвергают факторному анализу, который и позволяет выявить те личностные свойства, которые оказывают влияние на поведение индивидуума.
В основе различных методов факторного анализа лежит следующая гипотеза: наблюдаемые или измеряемые параметры являются лишь косвенными характеристиками изучаемого объекта, в действительности существуют внутренние (скрытые, латентные, не наблюдаемые непосредственно) параметры и свойства, число которых мало и которые определяют значения наблюдаемых параметров. Эти внутренние параметры принято называть факторами.

Цель факторного анализа – сконцентрировать исходную информацию, выражая большое число рассматриваемых признаков через меньшее число более ёмких внутренних характеристик явления, которые, однако, не поддаются непосредственному измерению

Установлено, что выделение и последующее наблюдение за уровнем общих факторов даёт возможность обнаруживать предотказные состояния объекта на очень ранних стадиях развития дефекта. Факторный анализ позволяет отслеживать стабильность корреляционных связей между отдельными параметрами. Именно корреляционные связи между параметрами, а также между параметрами и общими факторами содержат основную диагностическую информацию о процессах. Применение инструментария пакета Statistica при выполнении факторного анализа исключает необходимость использования дополнительных вычислительных средств и делает анализ наглядным и понятным для пользователя.

Результаты факторного анализа будут успешными, если удается дать интерпретацию выявленных факторов, исходя из смысла показателей, характеризующих эти факторы. Данная стадия работы весьма ответственная; она требует чёткого представления о содержательном смысле показателей, которые привлечены для анализа и на основе которых выделены факторы. Поэтому при предварительном тщательном отборе показателей для факторного анализа следует руководствоваться их смыслом, а не стремлением к включению в анализ как можно большего их числа.

Сущность факторного анализа

Приведём несколько основных положений факторного анализа. Пусть для матрицы Х измеренных параметров объекта существует ковариационная (корреляционная) матрица C , где р – число параметров, n – число наблюдений. Путем линейного преобразования X =QY +U можно уменьшить размерность исходного факторного пространства Х до уровня Y , при этом р "<<р . Это соответствует преобразованию точки, характеризующей состояние объекта в j -мерном пространстве, в новое пространство измерений с меньшей размерностью р ". Очевидно, что геометрическая близость двух или множества точек в новом факторном пространстве означает стабильность состояния объекта.

Матрица Y содержит ненаблюдаемые факторы, которые по существу являются гиперпараметрами, характеризующими наиболее общие свойства анализируемого объекта. Общие факторы чаще всего выбирают статистически независимыми, что облегчает их физическую интерпретацию. Вектор наблюдаемых признаков Х имеет смысл следствия изменения этих гиперпараметров.

Матрица U состоит из остаточных факторов, которые включают в основном ошибки измерения признаков x (i ). Прямоугольная матрица Q содержит факторные нагрузки, определяющие линейную связь между признаками и гиперпараметрами.
Факторные нагрузки – это значения коэффициентов корреляции каждого из исходных признаков с каждым из выявленных факторов. Чем теснее связь данного признака с рассматриваемым фактором, тем выше значение факторной нагрузки. Положительный знак факторной нагрузки указывает на прямую (а отрицательный знак – на обратную) связь данного признака с фактором.

Таким образом, данные о факторных нагрузках позволяют сформулировать выводы о наборе исходных признаков, отражающих тот или иной фактор, и об относительном весе отдельного признака в структуре каждого фактора.

Модель факторного анализа похожа на модели многомерного регрессионного и дисперсионного анализа. Принципиальное отличие модели факторного анализа в том, что вектор Y – это ненаблюдаемые факторы, а в регрессионном анализе – это регистрируемые параметры. В правой части уравнения (8.1) неизвестными являются матрица факторных нагрузок Q и матрица значений общих факторов Y.

Для нахождения матрицы факторных нагрузок используют уравнениеQQ т =S–V, где Q т – транспонированная матрица Q, V – матрица ковариаций остаточных факторов U, т.е. . Уравнение решается путем итераций при задании некоторого нулевого приближения ковариационной матрицы V(0). После нахождения матрицы факторных нагрузок Q вычисляются общие факторы (гиперпараметры) по уравнению
Y=(Q т V -1)Q -1 Q т V -1 X

Пакет статистического анализа Statistica позволяет в диалоговом режиме вычислить матрицу факторных нагрузок, а также значения нескольких заранее заданных главных факторов, чаще всего двух – по первым двум главным компонентам исходной матрицы параметров.

Факторный анализ в системе Statistica

Рассмотрим последовательность выполнения факторного анализа на примере обработки результатов анкетного опроса работников предприятия . Требуется выявить основные факторы, которые определяют качество трудовой жизни.

На первом этапе необходимо отобрать переменные для проведения факторного анализа. Используя корреляционный анализ, исследователь пытается выявить взаимосвязь исследуемых признаков, что, в свою очередь, даёт ему возможность выделить полный и безызбыточный набор признаков путём объединения сильно коррелирующих признаков.

Если проводить факторный анализ по всем переменным, то результаты могут получиться не совсем объективными, так как некоторые переменные определяется другими данными, и не могут регулироваться сотрудниками рассматриваемой организации.

Для того чтобы понять, какие показатели следует исключить, построим по имеющимся данным матрицу коэффициентов корреляции в Statistica: Statistics/ Basic Statistics/ Correlation Matrices/ Ok. В стартовом окне этой процедуры Product-Moment and Partial Correlations (рис. 4.3) для расчёта квадратной матрицы используется кнопка One variable list. Выбираем все переменные (select all), Ok, Summary. Получаем корреляционную матрицу.

Если коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0,7 до 1, то это означает сильную корреляцию показателей. В этом случае можно исключить одну переменную с сильной корреляцией. И наоборот, если коэффициент корреляции мал, можно исключить переменную из-за того, что она ничего не добавит к общей сумме. В нашем случае сильной корреляции между какими-либо переменными не наблюдается, и факторный анализ будем проводить для полного набора переменных.

Для запуска факторного анализа необходимо вызвать модуль Statistics/ Multivariate Exploratory Techniques (многомерные исследовательские методы)/ Factor Analysis (факторный анализ). На экране появится окно модуля Factor Analysis.

Для анализа выбираем все переменные электронной таблицы; Variables (переменные): select all, Ok. В строке Input file (тип файла входных данных) указывается Raw Data (исходные данные). В модуле возможны два типа исходных данных – Raw Data (исходные данные) и Correlation Matrix – корреляционная матрица.

В разделе MD deletion задаётся способ обработки пропущенных значений:
* Casewise – способ исключения пропущенных значений (по умолчанию);
* Pairwise – парный способ исключения пропущенных значений;
* Mean substitution – подстановка среднего вместо пропущенных значений.
Способ Casewise состоит в том, что в электронной таблице, содержащей данные, игнорируются все строки, в которых имеется хотя бы одно пропущенное значение. Это относится ко всем переменным. В способе Pairwise игнорируются пропущенные значения не для всех переменных, а лишь для выбранной пары.

Выберем способ обработки пропущенных значений Casewise.

Statistica обработает пропущенные значения тем способом, который указан, вычислит корреляционную матрицу и предложит на выбор несколько методов факторного анализа.

После нажатия кнопки Ok появляется окно Define Method of Factor Extraction (определить метод выделения факторов).

Верхняя часть окна является информационной. Здесь сообщается, что пропущенные значения обработаны методом Casewise. Обработано 17 наблюдений и 17 наблюдений принято для дальнейших вычислений. Корреляционная матрица вычислена для 7 переменных. Нижняя часть окна содержит 3 вкладки: Quick, Advanced, Descriptives.

Во вкладке Descriptives (описательные статистики) имеются две кнопки:
1- просмотреть корреляции, средние и стандартные отклонения;
2- построить множественную регрессию.

Нажав на первую кнопку, можно посмотреть средние и стандартные отклонения, корреляции, ковариации, построить различные графики и гистограммы.

Во вкладке Advanced, в левой части, выберем метод (Extraction method) факторного анализа: Principal components (метод главных компонент). В правой части выбираем максимальное число факторов (2). Задаётся либо максимальное число факторов (Max no of factors), либо минимальное собственное значение: 1 (eigenvalue).

Нажимаем Ok, и Statistica быстро произвёдет вычисления. На экране появляется окно Factor Analysis Results (результаты факторного анализа). Как говорилось ранее, результаты факторного анализа выражаются набором факторных нагрузок. Поэтому далее будем работать с вкладкой Loadings.

Верхняя часть окна – информационная:
Number of variables (число анализируемых переменных): 7;
Method (метод выделения факторов): Principal components (главных компонент);
Log (10) determinant of correlation matrix (десятичный логарифм детерминанта корреляционной матрицы): –1,6248;
Number of factors extracted (число выделенных факторов): 2;
Eigenvalues (собственные значения): 3,39786 и 1,19130.
В нижней части окна находятся функциональные кнопки, позволяющие всесторонне просмотреть результаты анализа, числено и графически.
Factor rotation – вращение факторов, в данном выпадающем окне можно выбрать различные повороты осей. С помощью поворота системы координат можно получить множество решений, из которого необходимо выбрать интерпретируемое решение.

Существуют различные методы вращения координат пространства. Пакет Statistica предлагает восемь таких методов, представленных в модуле факторного анализа. Так, например, метод варимакс соответствует преобразованию координат: вращение, максимизирующее дисперсию. В методе варимакс получают упрощённое описание столбцов факторной матрицы, сводя все значения к 1 или 0. При этом рассматривается дисперсия квадратов нагрузок фактора. Факторная матрица, получаемая с помощью метода вращения варимакс, в большей степени инвариантна по отношению к выбору различных множеств переменных.

Вращение методом квартимакс ставит целью аналогичное упрощение только по отношению к строкам факторной матрицы. Эквимакс занимает промежуточное положение? при вращении факторов по этому методу одновременно делается попытка упростить и столбцы, и строки. Рассмотренные методы вращения относятся к ортогональным вращениям, т.е. в результате получаются некоррелированные факторы. Методы прямого облимина и промакс вращения относятся к косоугольным вращениям, в результате которых получаются коррелированные между собой факторы. Термин?normalized? в названиях методов указывает на то, что факторные нагрузки нормируются, то есть делятся на квадратный корень из соответствующей дисперсии.

Из всех предлагаемых методов, мы сначала посмотрим результат анализа без вращения системы координат – Unrotated. Если полученный результат окажется интерпретируемым и будет нас устраивать, то на этом можно остановиться. Если нет, можно вращать оси и посмотреть другие решения.

Щёлкаем по кнопке "Factor Loading" и смотрим факторные нагрузки численно.

Напомним, что факторные нагрузки – это значения коэффициентов корреляции каждой из переменных с каждым из выявленных факторов.

Значение факторной нагрузки, большее 0,7 показывает, что данный признак или переменная тесно связан с рассматриваемым фактором. Чем теснее связь данного признака с рассматриваемым фактором, тем выше значение факторной нагрузки. Положительный знак факторной нагрузки указывает на прямую (а отрицательный знак? на обратную) связь данного признака с фактором.
Итак, из таблицы факторных нагрузок было выявлено два фактора. Первый определяет ОСБ – ощущение социального благополучия. Остальные переменные обусловлены вторым фактором.

В строке Expl. Var (рис. 8.5) приведена дисперсия, приходящаяся на тот или иной фактор. В строке Prp. Totl приведена доля дисперсии, приходящаяся на первый и второй фактор. Следовательно, на первый фактор приходится 48,5 % всей дисперсии, а на второй фактор – 17,0 % всей дисперсии, всё остальное приходится на другие неучтенные факторы. В итоге, два выявленных фактора объясняют 65,5 % всей дисперсии.

Здесь мы также видим две группы факторов – ОСБ и остальное множество переменных, из которых выделяется ЖСР – желание сменить работу. Видимо, имеет смысл исследовать это желание более основательно на основе сбора дополнительных данных.

Выбор и уточнение количества факторов

Как только получена информация о том, сколько дисперсии выделил каждый фактор, можно возвратиться к вопросу о том, сколько факторов следует оставить. По своей природе это решение произвольно. Но имеются некоторые общеупотребительные рекомендации, и на практике следование им даёт наилучшие результаты.

Количество общих факторов (гиперпараметров) определяется путём вычисления собственных чисел (рис. 8.7) матрицы Х в модуле факторного анализа. Для этого во вкладке Explained variance (рис. 8.4) необходимо нажать кнопку Scree plot.

Максимальное число общих факторов может быть равно количеству собственных чисел матрицы параметров. Но с увеличением числа факторов существенно возрастают трудности их физической интерпретации.

Сначала можно отобрать только факторы, с собственными значениями, большими 1. По существу, это означает, что если фактор не выделяет дисперсию, эквивалентную, по крайней мере, дисперсии одной переменной, то он опускается. Этот критерий используется наиболее широко. В приведённом выше примере на основе этого критерия следует сохранить только 2 фактора (две главные компоненты).

Можно найти такое место на графике, где убывание собственных значений слева направо максимально замедляется. Предполагается, что справа от этой точки находится только "факториальная осыпь". В соответствии с этим критерием можно оставить в примере 2 или 3 фактора.
Из рис. видно, что третий фактор незначительно увеличивает долю общей дисперсии.

Факторный анализ параметров позволяет выявить на ранней стадии нарушение рабочего процесса (возникновение дефекта) в различных объектах, которое часто невозможно заметить путём непосредственного наблюдения за параметрами. Это объясняется тем, что нарушение корреляционных связей между параметрами возникает значительно раньше, чем изменение одного параметра. Такое искажение корреляционных связей позволяет своевременно обнаружить факторный анализ параметров. Для этого достаточно иметь массивы зарегистрированных параметров.

Можно дать общие рекомендации по использованию факторного анализа вне зависимости от предметной области.
* На каждый фактор должно приходиться не менее двух измеренных параметров.
* Число измерений параметров должно быть больше числа переменных.
* Количество факторов должно обосновываться, исходя из физической интерпретации процесса.
* Всегда следует добиваться того, чтобы количество факторов было намного меньше числа переменных.

Критерий Кайзера иногда сохраняет слишком много факторов, в то время как критерий каменистой осыпи иногда сохраняет слишком мало факторов. Однако оба критерия вполне хороши при нормальных условиях, когда имеется относительно небольшое число факторов и много переменных. На практике более важен вопрос о том, когда полученное решение может быть интерпретировано. Поэтому обычно исследуется несколько решений с большим или меньшим числом факторов, и затем выбирается одно наиболее осмысленное.

Пространство исходных признаков должно быть представлено в однородных шкалах измерения, т. к. это позволяет при вычислении использовать корреляционные матрицы. В противном случае возникает проблема "весов" различных параметров, что приводит к необходимости применения при вычислении ковариационных матриц. Отсюда может появиться дополнительная проблема повторяемости результатов факторного анализа при изменении количества признаков. Следует отметить, что указанная проблема просто решается в пакете Statistica путем перехода к стандартизированной форме представления параметров. При этом все параметры становятся равнозначными по степени их связи с процессами в объекте исследования.

Плохо обусловленные матрицы

Если в наборе исходных данных имеются избыточные переменные и не проведено их исключение корреляционным анализом, то нельзя вычислить обратную матрицу (8.3). Например, если переменная является суммой двух других переменных, отобранных для этого анализа, то корреляционная матрица для такого набора переменных не может быть обращена, и факторный анализ принципиально не может быть выполнен. На практике это происходит, когда пытаются применить факторный анализ к множеству сильно зависимых переменных, что иногда случается, например, в обработке вопросников. Тогда можно искусственно понизить все корреляции в матрице путём добавления малой константы к диагональным элементам матрицы, и затем стандартизировать её. Эта процедура обычно приводит к матрице, которая может быть обращена, и поэтому к ней применим факторный анализ. Более того, эта процедура не влияет на набор факторов, но оценки оказываются менее точными.

Факторное и регрессионное моделирование систем с переменными состояниями

Системой с переменными состояниями (СПС) называется система, отклик которой зависит не только от входного воздействия, но и от обобщенного постоянного во времени параметра, определяющего состояние. Регулируемый усилитель или аттенюатор? это пример простейшей СПС, в котором коэффициент передачи может дискретно или плавно изменяться по какому-либо закону. Исследование СПС обычно проводится для линеаризованных моделей, в которых переходный процесс, связанный с изменением параметра состояния, считается завершённым.

Аттенюаторы, выполненные на основе Г-, Т- и П-образного соединения последовательно и параллельно включённых диодов получили наибольшее распространение. Сопротивление диодов под воздействием управляющего тока может меняться в широких пределах, что позволяет изменять АЧХ и затухание в тракте. Независимость фазового сдвига при регулировании затухания в таких аттенюаторах достигается с помощью реактивных цепей, включенных в базовую структуру. Очевидно, что при разном соотношении сопротивлений параллельных и последовательных диодов может быть получен один и тот же уровень вносимого ослабления. Но изменение фазового сдвига будет различным.

Исследуем возможность упрощения автоматизированного проектирования аттенюаторов, исключающего двойную оптимизацию корректирующих цепей и параметров управляемых элементов. В качестве исследуемой СПС будем использовать электрически управляемый аттенюатор, схема замещения которого приведена на рис. 8.8. Минимальный уровень затухания обеспечивается в случае малого сопротивления элемента Rs и большого сопротивления элемента Rp. По мере увеличения сопротивления элемента Rs и уменьшения сопротивления элемента Rp вносимое ослабление увеличивается.

Зависимости изменения фазового сдвига от частоты и затухания для схемы без коррекции и с коррекцией приведены на рис. 8.9 и 8.10 соответственно. В корректированном аттенюаторе в диапазоне ослаблений 1,3-7,7 дБ и полосе частот 0,01?4,0 ГГц достигнуто изменение фазового сдвига не более 0,2°. В аттенюаторе без коррекции изменение фазового сдвига в той же полосе частот и диапазоне ослаблений достигает 3°. Таким образом, фазовый сдвиг уменьшен за счет коррекции почти в 15 раз.

Будем считать параметры коррекции и управления независимыми переменными или факторами, влияющими на затухание и изменение фазового сдвига. Это даёт возможность с помощью системы Statistica провести факторный и регрессионный анализ СПС с целью установления физических закономерностей между параметрами цепи и отдельными характеристиками, а также упрощения поиска оптимальных параметров схемы.

Исходные данные формировались следующим образом. Для параметров коррекции и сопротивлений управления, отличающихся от оптимальных в большую и меньшую стороны на сетке частот 0,01?4 ГГц, были вычислены вносимое ослабление и изменение фазового сдвига.

Методы статистического моделирования, в частности, факторный и регрессионный анализ, которые раньше не использовались для проектирования дискретных устройств с переменными состояниями, позволяют выявить физические закономерности работы элементов системы. Это способствует созданию структуры устройства исходя из заданного критерия оптимальности. В частности, в данном разделе рассматривался фазоинвариантный аттенюатор как типичный пример системы с переменными состояниями. Выявление и интерпретация факторных нагрузок, влияющих на различные исследуемые характеристики, позволяет изменить традиционную методологию и существенно упростить поиск параметров коррекции и параметров регулирования.

Установлено, что использование статистического подхода к проектированию подобных устройств оправдано как для оценки физики их работы, так и для обоснования принципиальных схем. Статистическое моделирование позволяет существенно сократить объём экспериментальных исследований.

Результаты

• Наблюдение за общими факторами и соответствующими факторными нагрузками – это необходимое выявление внутренних закономерностей процессов.
• С целью определения критических значений контролируемых расстояний между факторными нагрузками следует накапливать и обобщать результаты факторного анализа для однотипных процессов.
• Применение факторного анализа не ограничено физическими особенностями процессов. Факторный анализ является как мощным методом мониторинга процессов, так и применим к проектированию систем самого различного назначения.

ЭТАПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

Можно выделить девять этапов факторного анализа. Для наглядности представим эти этапы на схеме, а затем дадим им краткую характеристику.

Этапы выполнения факторного анализа приведены на рис.

Рис.

ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ И ПОСТРОЕНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ МАТРИЦЫ

Формулировка проблемы. Необходимо четко определить цели факторного анализа. Переменные, подвергаемые факторному анализу, задаются исходя из прошлых исследований, теоретических выкладок либо по усмотрению исследователя. Необходимо, чтобы переменные измерялись в интервальной или относительной шкале. Опыт показывает, что объем выборки должен быть больше в четыре - пять раз, чем число переменных.

Построение корреляционной матрицы. В основе анализа лежит матрица корреляции между переменными. Целесообразность выполнения факторного анализа определяется наличием корреляций между переменными. Если же корреляции между всеми переменными небольшие, то факторный анализ проводить бесполезно. Переменные, тесно взаимосвязанные между собой, как правило, тесно коррелируют с одним и тем же фактором или факторами.

Для проверки целесообразности использования факторной модели существует несколько статистик. С помощью критерия сферичности Бартлетта проверяется нулевая гипотеза об отсутствии корреляции между переменными в генеральной совокупности. Это значит, что рассматривается утверждение о том, что корреляционная матрица совокупности - это единичная матрица, в которой все диагональные элементы равны единице, а все остальные равны нулю. Проверка с помощью критерия сферичности основана на преобразовании детерминанта корреляционной матрицы в статистику хи-квадрат. При большом значении статистики нулевую гипотезу отклоняют. Если же нулевую гипотезу не отклоняют, то выполнение факторного анализа нецелесообразно. Другая полезная статистика - критерий адекватности выборки Кайзера-Мейера-Олкина (КМО). Данный коэффициент сравнивает значения наблюдаемых коэффициентов корреляции со значениями частных коэффициентов корреляции. Небольшие значения КМО - статистики указывают на то, что корреляции между парами переменных нельзя объяснить другими переменными, а это значит, что использование факторного анализа нецелесообразно.

В общем случае для объяснения корреляционной матрицы потребуется не один, а несколько факторов. Каждый фактор характеризуется столбцом, каждая переменная - строкойматрицы . Фактор называется генеральным, если все его нагрузки значительно отличаются от нуля и он имеет нагрузки от всех переменных. Генеральный фактор имеет нагрузки от всех переменных и схематически такой фактор изображен на рис.1. столбцом .Фактор называется общим , если хотя бы две его нагрузки значительно отличаются от нуля. Столбцы , на рис. 1. представляют такие общие факторы. Они имеют нагрузки от более чем двух переменных. Если у фактора только одна нагрузка, значительно отличающаяся от нуля, то он называется характерным фактором (см. столбцы на рис. 1. ) Каждый такой фактор представляет только одну переменную. Решающее значение в факторном анализе имеют общие факторы. Если общие факторы установлены, то характерные факторы получаются автоматически. Число высоких нагрузок переменной на общие факторы называется сложностью . Например, переменная на рис.1. имеет сложность 2, а переменная - три.

Рис. 1. Схематическое изображение факторного отображения. Крестик означает высокую факторную нагрузку.

Итак, построим модель

, (4)

где - ненаблюдаемые факторы m < k ,

Наблюдаемые переменные (исходные признаки),

Факторные нагрузки,

Случайная ошибка связанная только с с нулевым средним и дисперсией :

И - некорpелированы,

Некоррелированные случайные величины с нулевым средним и единичной дисперсией .

(5)

Здесь - i -ая общность представляющая собой часть дисперсии , обусловленная факторами, - часть дисперсии , обусловленная ошибкой. В матричной записи факторная модель примет вид:

(6)

где - матрица нагрузок, - вектор факторов, - вектор ошибок.

Корреляции между переменными, выраженные факторами, можно вывести следующим образом:

где - диагональная матрица порядка , содержащая дисперсии ошибок[i]. Основное условие: - диагональная, - неотрицательно определенная матрица. Дополнительным условием единственности решения является диагональность матрицы .

Имеется множество методов решения факторного уравнения. Наиболее ранним методом факторного анализа является метод главных факторов , в котором методика анализа главных компонент используется применительно к редуцированной корреляционной матрице с общностями на главной диагонали. Для оценки общностей обычно пользуются коэффициентом множественной корреляции между соответствующей переменной и совокупностью остальных переменных.

Факторный анализ проводится исходя из характеристического уравнения, как и в анализе главных компонент:

(8)

Решая которое, получают собственные числа λ i и матрицу нормированных (характеристических) векторов V, и затем находят матрицу факторного отображения:

Для получения оценок общностей и факторных нагрузок используется эмпирический итеративный алгоритм, который сходится к истинным оценкам параметров. Сущность алгоритма сводится к следующему: первоначальные оценки факторных нагрузок определяются с помощью метода главных факторов. На основании корреляционной матрицы R формально определяются оценки главных компонент и общих факторов:

(9)

где - соответствующее собственное значение матрицы R;

Исходные данные (вектор-столбцы);

Коэффициенты при общих факторах;

Главные компоненты (вектор-столбцы).

Оценками факторных нагрузок служат величины

Оценки общностей получаются как

На следующей итерации модифицируется матрица R - вместо элементов главной диагонали подставляются оценки общностей, полученные на предыдущей итерации; на основании модифицированной матрицы R с помощью вычислительной схемы компонентного анализа повторяется расчет главных компонент (которые не являются таковыми с точки зрения компонентного анализа), ищутся оценки главных факторов, факторных нагрузок, общностей, специфичностей. Факторный анализ можно считать законченным, когда на двух соседних итерациях оценки общностей меняются слабо.

Примечание. Преобразования матрицы R могут нарушать положительную определенность матрицы R + и, как следствие, некоторые собственные значения R + могут быть отрицательными.