Elevare una matrice a potenza online. Alcune proprietà delle operazioni sulle matrici Espressioni di matrici Elevare una matrice a una potenza maggiore

Qui continueremo l'argomento delle operazioni sulle matrici iniziato nella prima parte e vedremo un paio di esempi in cui sarà necessario applicare più operazioni contemporaneamente.

Elevare una matrice a potenza.

Sia k un numero intero non negativo. Per ogni matrice quadrata $A_(n\times n)$ abbiamo: $$ A^k=\underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(k \; times) $$

In questo caso, assumiamo che $A^0=E$, dove $E$ è la matrice identità dell'ordine corrispondente.

Esempio n.4

Data una matrice $ A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)$. Trova le matrici $A^2$ e $A^6$.

Secondo la definizione, $A^2=A\cdot A$, cioè per trovare $A^2$ basta moltiplicare la matrice $A$ per se stessa. L'operazione di moltiplicazione delle matrici è stata discussa nella prima parte dell'argomento, quindi qui scriveremo semplicemente il processo di soluzione senza spiegazioni dettagliate:

$$ A^2=A\cdot A=\left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 1 & 2 \\ -1 & -3 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) 1\cdot 1+2\cdot (-1) & 1\cdot 2 +2\cdot (-3) \\ -1\cdot 1+(-3)\cdot (-1) & -1\cdot 2+(-3)\cdot (-3) \end(array) \right )= \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right). $$

Per trovare la matrice $A^6$ abbiamo due opzioni. Opzione uno: è banale continuare a moltiplicare $A^2$ per la matrice $A$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A. $$

Tuttavia, puoi seguire un percorso leggermente più semplice, utilizzando la proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici. Inseriamo le parentesi nell'espressione per $A^6$:

$$ A^6=A^2\cdot A\cdot A\cdot A\cdot A=A^2\cdot (A\cdot A)\cdot (A\cdot A)=A^2\cdot A^2 \cpunto A^2. $$

Se la soluzione del primo metodo richiedesse quattro operazioni di moltiplicazione, il secondo metodo ne richiederebbe solo due. Procediamo quindi per la seconda strada:

$$ A^6=A^2\cdot A^2\cdot A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\ cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc) -1\cdot (-1)+(-4)\cdot 2 & -1\cdot (-4 )+(-4)\cdot 7 \\ 2\cdot (-1)+7\cdot 2 & 2\cdot (-4)+7\cdot 7 \end(array) \right)\cdot \left(\ Begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -7 & -24 \\ 12 & 41 \end( array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (cc ) -7\cdot(-1)+(-24)\cdot 2 & -7\cdot (-4)+(-24)\cdot 7 \\ 12\cdot (-1)+41\cdot 2 & 12 \cdot (-4)+41\cdot 7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right). $$

Risposta: $A^2=\left(\begin(array) (cc) -1 & -4 \\ 2 & 7 \end(array) \right)$, $A^6=\left(\begin(array) (cc) -41 & -140 \\ 70 & 239 \end(array) \right)$.

Esempio n.5

Date le matrici $ A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \end(array) \right)$, $ B=\left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \end (array) \right)$, $ C=\left(\begin(array) (ccc) -5 & -20 & 13 \\ 10 & 12 & 9 \\ 3 & -15 & 8 \end(array) \ destra)$. Trova la matrice $D=2AB-3C^T+7E$.

Iniziamo a calcolare la matrice $D$ trovando il risultato del prodotto $AB$. Le matrici $A$ e $B$ possono essere moltiplicate, poiché il numero di colonne della matrice $A$ è uguale al numero di righe della matrice $B$. Indichiamo $F=AB$. In questo caso, la matrice $F$ avrà tre colonne e tre righe, ovvero sarà quadrato (se questa conclusione non sembra ovvia, vedere la descrizione della moltiplicazione di matrici nella prima parte di questo argomento). Troviamo la matrice $F$ calcolando tutti i suoi elementi:

$$ F=A\cdot B=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 0 \\ -1 & 4 & -3 & 6 \ end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (ccc) -9 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 1 & 5 & 0 \ end(array) \right)\\ \begin(aligned) & f_(11)=1\cdot (-9)+0\cdot 2+(-1)\cdot 0+2\cdot 1=-7; \\ & f_(12)=1\cdot 1+0\cdot (-1)+(-1)\cdot (-2)+2\cdot 5=13; \\ & f_(13)=1\cdot 0+0\cdot 4+(-1)\cdot 3+2\cdot 0=-3;\\ \\ & f_(21)=3\cdot (-9 )+(-2)\cdot 2+5\cdot 0+0\cdot 1=-31;\\ & f_(22)=3\cdot 1+(-2)\cdot (-1)+5\cdot (-2)+0\cdot 5=-5;\\ & f_(23)=3\cdot 0+(-2)\cdot 4+5\cdot 3+0\cdot 0=7;\\ \\ & f_(31)=-1\cdot (-9)+4\cdot 2+(-3)\cdot 0+6\cdot 1=23; \\ & f_(32)=-1\cdot 1+4\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)+6\cdot 5=31;\\ & f_(33)=-1 \cdot 0+4\cdot 4+(-3)\cdot 3+6\cdot 0=7. \end(allineato) $$

Quindi $F=\left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)$. Andiamo oltre. La matrice $C^T$ è la matrice trasposta per la matrice $C$, ovvero $ C^T=\left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right) $. Per quanto riguarda la matrice $E$, è la matrice identità. In questo caso, l'ordine di questa matrice è tre, cioè $E=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

In linea di principio, possiamo continuare ad andare passo dopo passo, ma è meglio considerare il resto dell'espressione nel suo insieme, senza lasciarsi distrarre da azioni ausiliarie. Ci restano infatti solo le operazioni di moltiplicazione delle matrici per un numero, nonché le operazioni di addizione e sottrazione.

$$ D=2AB-3C^T+7E=2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \ end(array) \right)-3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \ destra)+7\cdot \sinistra(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Moltiplichiamo le matrici a destra dell'uguaglianza per i numeri corrispondenti (cioè per 2, 3 e 7):

$$ 2\cdot \left(\begin(array) (ccc) -7 & 13 & -3 \\ -31 & -5 & 7 \\ 23 & 31 & 7 \end(array) \right)-3\ cdot \left(\begin(array) (ccc) -5 & 10 & 3 \\ -20 & 12 & -15 \\ 13 & 9 & 8 \end(array) \right)+7\cdot \left(\ Begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) - 14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (ccc) -15 & 13 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right) $$

Eseguiamo gli ultimi passaggi: sottrazione e addizione:

$$ \left(\begin(array) (ccc) -14 & 26 & -6 \\ -62 & -10 & 14 \\ 46 & 62 & 14 \end(array) \right)-\left(\begin (array) (ccc) -15 & 30 & 9 \\ -60 & 36 & -45 \\ 39 & 27 & 24 \end(array) \right)+\left(\begin(array) (ccc) 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end(array) \right)=\\ =\left(\begin(array) (ccc) -14-(-15)+7 & 26-30+0 & -6-9+0 \\ -62-(-60)+0 & -10-36+7 & 14-(-45)+0 \\ 46-39+0 & 62-27 +0 & 14-24+7 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right). $$

Problema risolto, $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$ .

Risposta: $D=\left(\begin(array) (ccc) 8 & -4 & -15 \\ -2 & -39 & 59 \\ 7 & 35 & -3 \end(array) \right)$.

Esempio n.6

Sia $f(x)=2x^2+3x-9$ e la matrice $ A=\left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right) $. Trova il valore di $f(A)$.

Se $f(x)=2x^2+3x-9$, allora $f(A)$ è intesa come matrice:

$$ f(A)=2A^2+3A-9E. $$

Ecco come viene definito un polinomio da una matrice. Quindi, dobbiamo sostituire la matrice $A$ nell'espressione $f(A)$ e ottenere il risultato. Poiché tutte le azioni sono state discusse in dettaglio in precedenza, qui fornirò semplicemente la soluzione. Se il processo di esecuzione dell'operazione $A^2=A\cdot A$ non ti è chiaro, ti consiglio di consultare la descrizione della moltiplicazione di matrici nella prima parte di questo argomento.

$$ f(A)=2A^2+3A-9E=2A\cdot A+3A-9E=2 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left( \begin(array) (cc) (-3)\cdot(-3)+1\cdot 5 & (-3)\cdot 1+1\cdot 0 \\ 5\cdot(-3)+0\cdot 5 & 5\cdot 1+0\cdot 0 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9 \left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right)=\\ =2 \left(\begin(array) (cc) 14 & -3 \\ - 15 & 5 \end(array) \right)+3 \left(\begin(array) (cc) -3 & 1 \\ 5 & 0 \end(array) \right)-9\left(\begin(array ) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 28 & -6 \\ -30 & 10 \end(array) \right) +\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 15 & 0 \end(array) \right)-\left(\begin(array) (cc) 9 & 0 \\ 0 & 9 \ end(array) \right)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right). $$

Risposta: $f(A)=\left(\begin(array) (cc) 10 & -3 \\ -15 & 1 \end(array) \right)$.

Alcune proprietà delle operazioni sulle matrici.
Espressioni di matrice

E ora ci sarà una continuazione dell'argomento, in cui considereremo non solo nuovo materiale, ma elaboreremo anche azioni con matrici.

Alcune proprietà delle operazioni sulle matrici

Esistono parecchie proprietà che riguardano operazioni con matrici; nella stessa Wikipedia si possono ammirare i ranghi ordinati delle regole corrispondenti. Tuttavia, in pratica, molte proprietà sono in un certo senso “morte”, poiché solo poche di esse vengono utilizzate per risolvere problemi reali. Il mio obiettivo è esaminare l'applicazione pratica delle proprietà con esempi specifici e, se hai bisogno di una teoria rigorosa, utilizza un'altra fonte di informazioni.

Diamo un'occhiata ad alcune eccezioni alla regola che saranno necessarie per completare le attività pratiche.

Se una matrice quadrata ha una matrice inversa, la loro moltiplicazione è commutativa:

Una matrice identità è una matrice quadrata di cui diagonale principale si trovano le unità e gli elementi rimanenti sono uguali a zero. Ad esempio: , ecc.

In questo caso vale la seguente proprietà: se una matrice arbitraria viene moltiplicata a sinistra o a destra per una matrice identità di dimensioni adeguate, il risultato sarà la matrice originale:

Come puoi vedere, anche qui avviene la commutatività della moltiplicazione di matrici.

Prendiamo una matrice, beh, diciamo, la matrice del problema precedente: .

Chi è interessato può verificare ed accertarsi che:

La matrice unitaria per le matrici è un analogo dell'unità numerica per i numeri, il che risulta particolarmente chiaro dagli esempi appena discussi.

Commutatività di un fattore numerico rispetto alla moltiplicazione di matrici

Per matrici e numeri reali vale la seguente proprietà:

Cioè, il fattore numerico può (e deve) essere spostato in avanti in modo che “non interferisca” con la moltiplicazione delle matrici.

Nota : in generale, la formulazione della proprietà è incompleta: il “lambda” può essere posizionato ovunque tra le matrici, anche alla fine. La regola rimane valida se si moltiplicano tre o più matrici.

Esempio 4

Calcola il prodotto

Soluzione:

(1) Secondo proprietà spostare il fattore numerico in avanti. Le matrici stesse non possono essere riorganizzate!

(2) – (3) Esegui la moltiplicazione di matrici.

(4) Qui puoi dividere ogni numero per 10, ma poi tra gli elementi della matrice appariranno frazioni decimali, il che non va bene. Tuttavia, notiamo che tutti i numeri nella matrice sono divisibili per 5, quindi moltiplichiamo ciascun elemento per .

Risposta :

Una piccola farsa da risolvere da solo:

Esempio 5

Calcola se

La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.

Quale tecnica è importante quando si risolvono tali esempi? Scopriamo i numeri infine .

Attacciamo un'altra carrozza alla locomotiva:

Come moltiplicare tre matrici?

Innanzitutto, QUALE dovrebbe essere il risultato della moltiplicazione di tre matrici? Un gatto non darà alla luce un topo. Se la moltiplicazione di matrici è fattibile, anche il risultato sarà una matrice. Hmmm, beh, il mio insegnante di algebra non vede come spiego la chiusura della struttura algebrica rispetto ai suoi elementi =)

Il prodotto di tre matrici può essere calcolato in due modi:

1) trovare e moltiplicare per la matrice “ce”: ;

2) prima trova, poi moltiplica.

I risultati coincideranno sicuramente, e in teoria questa proprietà è chiamata associatività della moltiplicazione di matrici:

Esempio 6

Moltiplicare le matrici in due modi

L'algoritmo di soluzione è in due passaggi: troviamo il prodotto di due matrici, poi troviamo ancora il prodotto di due matrici.

1) Usa la formula

Azione uno:

Atto secondo:

2) Usa la formula

Azione uno:

Atto secondo:

Risposta :

La prima soluzione è, ovviamente, più familiare e standard, dove “tutto sembra essere in ordine”. A proposito, per quanto riguarda l'ordine. Nel compito in esame, spesso sorge l'illusione che si tratti di una sorta di permutazione di matrici. Loro non sono qui. Vi ricordo ancora che nel caso generale è IMPOSSIBILE RESTRANGE LE MATRICI. Quindi, nel secondo paragrafo, nel secondo passaggio, eseguiamo la moltiplicazione, ma in nessun caso lo facciamo . Con i numeri ordinari un numero del genere funzionerebbe, ma con le matrici no.

La proprietà della moltiplicazione associativa è vera non solo per le matrici quadrate, ma anche per le matrici arbitrarie, purché vengano moltiplicate:

Esempio 7

Trova il prodotto di tre matrici

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Nella soluzione di esempio, i calcoli vengono eseguiti in due modi; analizzare quale percorso è più redditizio e più breve.

La proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici si applica anche a un numero maggiore di fattori.

Ora è il momento di tornare alle potenze delle matrici. Il quadrato della matrice viene considerato all'inizio e la domanda all'ordine del giorno è:

Come cubare una matrice e poteri superiori?

Anche queste operazioni sono definite solo per matrici quadrate. Per creare il cubo di una matrice quadrata è necessario calcolare il prodotto:

In effetti, questo è un caso speciale di moltiplicazione di tre matrici, secondo la proprietà di associatività della moltiplicazione di matrici: . E una matrice moltiplicata per se stessa è il quadrato della matrice:

Quindi, otteniamo la formula di lavoro:

Cioè, l'attività viene eseguita in due passaggi: prima la matrice deve essere quadrata e quindi la matrice risultante deve essere moltiplicata per la matrice.

Esempio 8

Costruisci la matrice in un cubo.

Questo è un piccolo problema da risolvere da solo.

L'elevazione di una matrice alla quarta potenza si effettua in modo naturale:

Usando l'associatività della moltiplicazione di matrici, ricaviamo due formule di lavoro. Innanzitutto: – questo è il prodotto di tre matrici.

1). In altre parole, prima troviamo , poi lo moltiplichiamo per "be" - otteniamo un cubo e infine eseguiamo di nuovo la moltiplicazione - ci sarà una quarta potenza.

2) Ma c'è una soluzione un passo più breve: . Cioè, nel primo passaggio troviamo un quadrato e, aggirando il cubo, eseguiamo la moltiplicazione

Compito aggiuntivo per l'esempio 8:

Eleva la matrice alla quarta potenza.

Come appena osservato, ciò può essere fatto in due modi:

1) Poiché il cubo è noto, eseguiamo la moltiplicazione.

2) Tuttavia, se in base alle condizioni del problema è necessario costruire una matrice solo alla quarta potenza, allora è vantaggioso abbreviare il percorso: trova il quadrato della matrice e usa la formula.

Entrambe le soluzioni e la risposta si trovano alla fine della lezione.

Allo stesso modo, la matrice viene elevata alla quinta potenza e superiore. Per esperienza pratica posso dire che a volte mi imbatto in esempi di elevazione alla 4a potenza, ma della quinta potenza non ricordo nulla. Ma per ogni evenienza, fornirò l'algoritmo ottimale:

1) trovare;
2) trovare;
3) elevare la matrice alla quinta potenza: .

Queste sono, forse, tutte le proprietà di base delle operazioni sulle matrici che possono essere utili nei problemi pratici.

Nella seconda parte della lezione è prevista una folla altrettanto variopinta.

Espressioni di matrice

Ripetiamo le solite espressioni scolastiche con i numeri. Un'espressione numerica è composta da numeri, simboli matematici e parentesi, ad esempio: . Nel calcolo si applica la consueta priorità algebrica: in primo luogo, parentesi, poi eseguito esponenziazione/radice, Poi moltiplicazione/divisione Ultimo ma non meno importante - addizione/sottrazione.

Se un'espressione numerica ha senso, il risultato della sua valutazione è un numero, ad esempio:

Le espressioni di matrice funzionano quasi allo stesso modo! Con la differenza che i personaggi principali sono matrici. Inoltre alcune operazioni specifiche sulle matrici, come la trasposizione e la ricerca dell'inverso di una matrice.

Considera l'espressione della matrice , dove sono alcune matrici. In questa espressione di matrice, tre termini e le operazioni di addizione/sottrazione vengono eseguiti per ultimi.

Nel primo termine, devi prima trasporre la matrice “be”: , quindi eseguire la moltiplicazione e inserire il “due” nella matrice risultante. Si noti che l'operazione di trasposizione ha una priorità maggiore rispetto alla moltiplicazione. Le parentesi, come nelle espressioni numeriche, cambiano l'ordine delle azioni: - qui viene eseguita prima la moltiplicazione, quindi la matrice risultante viene trasposta e moltiplicata per 2.

Nel secondo termine, viene eseguita prima la moltiplicazione della matrice e dal prodotto viene trovata la matrice inversa. Se rimuovi le parentesi: , devi prima trovare la matrice inversa e quindi moltiplicare le matrici: . Anche trovare l'inverso di una matrice ha la precedenza sulla moltiplicazione.

Con il terzo termine tutto è ovvio: eleviamo la matrice a cubo e inseriamo il “cinque” nella matrice risultante.

Se un'espressione di matrice ha senso, allora il risultato della sua valutazione è una matrice.

Tutte le attività proverranno da test reali e inizieremo con il più semplice:

Esempio 9

Date matrici . Trovare:

Soluzione: l'ordine delle azioni è ovvio, viene eseguita prima la moltiplicazione, quindi l'addizione.

Non è possibile eseguire l'addizione perché le matrici hanno dimensioni diverse.

Non sorprenderti: in compiti di questo tipo vengono spesso proposte azioni ovviamente impossibili.

Proviamo a calcolare la seconda espressione:

Qui va tutto bene.

Risposta: l'azione non può essere eseguita, .

Algebra lineare per manichini

Per studiare l'algebra lineare, puoi leggere e approfondire il libro "Matrici e determinanti" di I. V. Belousov. Tuttavia, è scritto in un linguaggio matematico rigoroso e asciutto, difficile da percepire per le persone con un'intelligenza media. Pertanto, ho rivisitato le parti più difficili da comprendere di questo libro, cercando di presentare il materiale nel modo più chiaro possibile, utilizzando il più possibile i disegni. Ho omesso le dimostrazioni dei teoremi. Francamente, non li ho approfonditi da solo. Credo al signor Belousov! A giudicare dal suo lavoro, è un matematico competente e intelligente. Puoi scaricare il suo libro su http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Se hai intenzione di approfondire il mio lavoro, devi farlo, perché farò spesso riferimento a Belousov.

Cominciamo con le definizioni. Cos'è una matrice? Questa è una tabella rettangolare di numeri, funzioni o espressioni algebriche. Perché sono necessarie le matrici? Facilitano notevolmente i calcoli matematici complessi. La matrice può avere righe e colonne (Fig. 1).

Righe e colonne sono numerate a partire da sinistra

dall'alto (Fig. 1-1). Quando dicono: una matrice di dimensione m n (o m per n), intendono con m il numero di righe e con n il numero di colonne. Ad esempio, la matrice nella Figura 1-1 è 4 per 3, non 3 per 4.

Guarda la fig. 1-3, quali matrici ci sono. Se una matrice è composta da una riga si chiama matrice di riga, se è composta da una colonna si chiama matrice di colonna. Una matrice si dice quadrata di ordine n se il numero di righe è pari al numero di colonne e pari a n. Se tutti gli elementi di una matrice sono zero, allora è una matrice zero. Una matrice quadrata si dice diagonale se tutti i suoi elementi sono uguali a zero, eccetto quelli situati sulla diagonale principale.

Spiegherò subito qual è la diagonale principale. I numeri di riga e di colonna su di esso sono gli stessi. Va da sinistra a destra dall'alto verso il basso. (Fig. 3) Gli elementi sono detti diagonali se si trovano sulla diagonale principale. Se tutti gli elementi diagonali sono uguali a uno (e il resto è uguale a zero), la matrice si chiama identità. Due matrici A e B della stessa dimensione si dicono uguali se tutti i loro elementi sono uguali.

2 Operazioni sulle matrici e loro proprietà

Il prodotto di una matrice per un numero x è una matrice della stessa dimensione. Per ottenere questo prodotto è necessario moltiplicare ciascun elemento per questo numero (Figura 4). Per ottenere la somma di due matrici della stessa dimensione, è necessario aggiungere gli elementi corrispondenti (Fig. 4). Per ottenere la differenza A - B di due matrici della stessa dimensione, è necessario moltiplicare la matrice B per -1 e aggiungere la matrice risultante con la matrice A (Fig. 4). Per le operazioni sulle matrici valgono le seguenti proprietà: A+B=B+A (proprietà di commutatività).

(A + B)+C = A+(B + C) (proprietà di associatività). In poche parole, cambiare la posizione dei termini non cambia la somma. Le seguenti proprietà si applicano alle operazioni su matrici e numeri:

(indicare i numeri con le lettere x e y e le matrici con le lettere A e B) x(yA)=(xy)A

Queste proprietà sono simili alle proprietà che si applicano alle operazioni sui numeri. Aspetto

esempi nella Figura 5. Vedi anche gli esempi 2.4 - 2.6 di Belousov a pagina 9.

Moltiplicazione di matrici.

La moltiplicazione di due matrici è definita solo se (tradotto in russo: le matrici possono essere moltiplicate solo se) quando il numero di colonne della prima matrice nel prodotto è uguale al numero di righe della seconda (Fig. 7, sopra, parentesi blu). Per aiutarti a ricordare: il numero 1 è più simile a una colonna. Il risultato della moltiplicazione è una matrice di dimensioni (vedere Figura 6). Per rendere più facile ricordare cosa deve essere moltiplicato per cosa, propongo il seguente algoritmo: guarda la Figura 7. Moltiplica la matrice A per la matrice B.

matrice A due colonne,

La matrice B ha due righe: puoi moltiplicare.

1) Trattiamo la prima colonna della matrice B (è l'unica che ha). Scriviamo questa colonna in una riga (transpose

colonna sulla trasposizione riportata di seguito).

2) Copia questa riga in modo da ottenere una matrice delle dimensioni della matrice A.

3) Moltiplicare gli elementi di questa matrice per i corrispondenti elementi della matrice A.

4) Sommiamo i prodotti risultanti in ciascuna riga e otteniamo una matrice di prodotto di due righe e una colonna.

La Figura 7-1 mostra esempi di moltiplicazione di matrici di dimensioni maggiori.

1) Qui la prima matrice ha tre colonne, il che significa che la seconda deve avere tre righe. L'algoritmo è esattamente lo stesso dell'esempio precedente, solo che qui ci sono tre termini in ogni riga, non due.

2) Qui la seconda matrice ha due colonne. Per prima cosa eseguiamo l'algoritmo con la prima colonna, poi con la seconda e otteniamo una matrice “due a due”.

3) Qui la colonna della seconda matrice è composta da un elemento; la colonna non cambierà a causa della trasposizione. E non c'è bisogno di aggiungere nulla, poiché la prima matrice ha solo una colonna. Eseguiamo l'algoritmo tre volte e otteniamo una matrice tre per tre.

Si verificano le seguenti proprietà:

1. Se esistono la somma B + C e il prodotto AB, allora A (B + C) = AB + AC

2. Se il prodotto AB esiste, allora x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Se esistono i prodotti AB e BC, allora A (BC) = (AB) C.

Se il prodotto della matrice AB esiste, allora il prodotto della matrice BA potrebbe non esistere. Anche se i prodotti AB e BA esistono, possono risultare matrici di dimensioni diverse.

Entrambi i prodotti AB e BA esistono e sono matrici della stessa dimensione solo nel caso di matrici quadrate A e B dello stesso ordine. Tuttavia, anche in questo caso, AB potrebbe non essere uguale a BA.

Esponenziazione

Elevare una matrice a una potenza ha senso solo per le matrici quadrate (pensa perché?). Allora la potenza intera positiva m della matrice A è il prodotto di m matrici uguali ad A. Lo stesso che per i numeri. Per grado zero di una matrice quadrata A intendiamo una matrice identità dello stesso ordine di A. Se hai dimenticato cos'è una matrice identità, guarda la Fig. 3.

Come per i numeri valgono le seguenti relazioni:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Vedi esempi di Belousov a pagina 20.

Matrici trasposte

La trasposizione è la trasformazione della matrice A nella matrice AT,

in cui le righe della matrice A vengono scritte nelle colonne AT mantenendo l'ordine. (Fig. 8). Puoi dirlo in un altro modo:

Le colonne della matrice A vengono scritte nelle righe della matrice AT, preservandone l'ordine. Nota come la trasposizione cambia la dimensione della matrice, cioè il numero di righe e colonne. Tieni inoltre presente che gli elementi sulla prima riga, sulla prima colonna e sull'ultima riga e sull'ultima colonna rimangono al loro posto.

Valgono le seguenti proprietà: (AT )T =A (transpose

matrice due volte: ottieni la stessa matrice)

(xA)T =xAT (per x intendiamo un numero, per A, ovviamente, una matrice) (se devi moltiplicare una matrice per un numero e trasporre, puoi prima moltiplicare, poi trasporre o viceversa )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Matrici simmetriche e antisimmetriche

La Figura 9, in alto a sinistra, mostra una matrice simmetrica. I suoi elementi, simmetrici rispetto alla diagonale principale, sono uguali. E ora la definizione: Matrice quadrata

A si dice simmetrico se AT =A. Cioè, una matrice simmetrica non cambia quando trasposta. In particolare, qualsiasi matrice diagonale è simmetrica. (Tale matrice è mostrata in Fig. 2).

Ora guarda la matrice antisimmetrica (Fig. 9, sotto). In cosa differisce da simmetrico? Nota che tutti i suoi elementi diagonali sono zero. Le matrici antisimmetriche hanno tutti gli elementi diagonali uguali a zero. Pensa perché? Definizione: Una matrice quadrata si chiama A

antisimmetrico se AT = -A. Notiamo alcune proprietà delle operazioni su simmetrici e antisimmetriche

matrici. 1. Se A e B sono matrici simmetriche (antisimmetriche), allora A + B è una matrice simmetrica (antisimmetrica).

2.Se A è una matrice simmetrica (antisimmetrica), allora anche xA è una matrice simmetrica (antisimmetrica). (infatti, se moltiplichi le matrici della Figura 9 per un certo numero, la simmetria verrà comunque preservata)

3. Il prodotto AB di due matrici simmetriche o antisimmetriche A e B è una matrice simmetrica per AB = BA e antisimmetrica per AB = -BA.

4. Se A è una matrice simmetrica, allora A m (m = 1, 2, 3, ...) è una matrice simmetrica. Se un

Matrice antisimmetrica, allora Am (m = 1, 2, 3, ...) è una matrice simmetrica per m pari e antisimmetrica per m dispari.

5. Una matrice quadrata arbitraria A può essere rappresentata come la somma di due matrici. (chiamiamo queste matrici, ad esempio A(s) e A(a) )

A=A(s)+A(a)

È opportuno notare che per questa operazione è possibile utilizzare solo matrici quadrate. Un numero uguale di righe e colonne è un prerequisito per elevare una matrice a potenza. Durante il calcolo, la matrice verrà moltiplicata per se stessa il numero di volte richiesto.

Questo calcolatore online è progettato per eseguire l'operazione di elevare una matrice a potenza. Grazie al suo utilizzo, non solo affronterai rapidamente questo compito, ma avrai anche un'idea chiara e dettagliata dello stato di avanzamento del calcolo stesso. Ciò aiuterà a consolidare meglio il materiale ottenuto in teoria. Avendo visto davanti a te un algoritmo di calcolo dettagliato, capirai meglio tutte le sue sottigliezze e successivamente sarai in grado di evitare errori nei calcoli manuali. Inoltre, non fa mai male ricontrollare i tuoi calcoli, e anche questo è meglio farlo qui.

Per elevare una matrice a potenza online, avrai bisogno di una serie di semplici passaggi. Prima di tutto, specifica la dimensione della matrice facendo clic sulle icone “+” o “-” alla sua sinistra. Quindi inserisci i numeri nel campo della matrice. È inoltre necessario indicare la potenza a cui è elevata la matrice. E poi tutto quello che devi fare è fare clic sul pulsante “Calcola” nella parte inferiore del campo. Il risultato ottenuto sarà affidabile e accurato se hai inserito attentamente e correttamente tutti i valori. Insieme ad esso, ti verrà fornita una trascrizione dettagliata della soluzione.

Nel luglio 2020, la NASA lancia una spedizione su Marte. La navicella spaziale consegnerà su Marte un supporto elettronico con i nomi di tutti i partecipanti registrati alla spedizione.

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Un altro Capodanno... tempo gelido e fiocchi di neve sul vetro della finestra... Tutto questo mi ha spinto a scrivere di nuovo sui... frattali e su ciò che Wolfram Alpha ne sa. C'è un articolo interessante su questo argomento, che contiene esempi di strutture frattali bidimensionali. Qui esamineremo esempi più complessi di frattali tridimensionali.

Un frattale può essere rappresentato visivamente (descritto) come una figura o un corpo geometrico (nel senso che entrambi sono un insieme, in questo caso un insieme di punti), i cui dettagli hanno la stessa forma della figura originale stessa. Cioè, questa è una struttura auto-simile, esaminando i cui dettagli quando ingranditi, vedremo la stessa forma che senza ingrandimento. Nel caso invece di una figura geometrica ordinaria (non un frattale), ingrandendola vedremo dettagli che hanno una forma più semplice rispetto alla figura originale stessa. Ad esempio, con un ingrandimento sufficientemente elevato, parte di un'ellisse appare come un segmento di linea retta. Questo non accade con i frattali: ad ogni aumento vedremo di nuovo la stessa forma complessa, che si ripeterà ancora e ancora ad ogni aumento.

Benoit Mandelbrot, il fondatore della scienza dei frattali, ha scritto nel suo articolo Frattali e arte in nome della scienza: "I frattali sono forme geometriche che sono tanto complesse nei loro dettagli quanto nella loro forma complessiva. Cioè, se fanno parte del frattale verrà ingrandito fino alla dimensione dell'insieme, apparirà come un insieme, esattamente o forse con una leggera deformazione."