I concetti di dipendenza lineare e indipendenza lineare sono definiti allo stesso modo per righe e colonne. Pertanto, le proprietà associate a questi concetti, formulate per le colonne, sono ovviamente valide anche per le righe.

1. Se il sistema di colonne include una colonna zero, allora è linearmente dipendente.

2. Se un sistema di colonne ha due colonne uguali, allora è linearmente dipendente.

3. Se il sistema di colonne ha due colonne proporzionali, allora è linearmente dipendente.

4. Un sistema di colonne è linearmente dipendente se e solo se almeno una delle colonne è una combinazione lineare delle altre.

5. Qualsiasi colonna inclusa in un sistema linearmente indipendente forma un sottosistema linearmente indipendente.

6. Un sistema di colonne contenente un sottosistema linearmente dipendente è linearmente dipendente.

7. Se il sistema di colonne è linearmente indipendente e, dopo aver unito la colonna ad esso, risulta essere linearmente dipendente, la colonna può essere scomposta in colonne e, inoltre, in un modo unico, ad es. i coefficienti di espansione si trovano in modo univoco.

Dimostriamo, ad esempio, l'ultima proprietà. Poiché il sistema di colonne è linearmente dipendente, non ci sono tutti i numeri uguali a 0, che

In questa uguaglianza. Infatti, se, allora

Quindi, una combinazione lineare non banale di colonne è uguale a zero, il che contraddice l'indipendenza lineare del sistema. Pertanto, anche allora, vale a dire una colonna è una combinazione lineare di colonne. Resta da mostrare l'unicità di una tale rappresentazione. Supponiamo il contrario. Siano due espansioni e, inoltre, non tutti i coefficienti delle espansioni sono rispettivamente uguali tra loro (ad esempio,). Allora dall'uguaglianza

Otteniamo (\ alpha_1- \ beta_1) A_1 + \ ldots + (\ alpha_k- \ beta_k) A_k = o

in sequenza, la combinazione lineare di colonne è uguale alla colonna zero. Poiché non tutti i suoi coefficienti sono uguali a zero (almeno), questa combinazione non è banale, il che contraddice la condizione di indipendenza lineare delle colonne. La contraddizione che ne risulta conferma l'unicità dell'espansione.

Esempio 3.2. Dimostrare che due colonne diverse da zero e sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali, ad es. ...

Soluzione. Infatti, se le colonne e sono linearmente dipendenti, allora ci sono numeri che non sono uguali a zero allo stesso tempo. E in questa uguaglianza. Infatti, supponendo ciò, otteniamo una contraddizione, poiché anche la colonna è diversa da zero. Si intende, . Pertanto, esiste un numero tale che. La necessità è stata dimostrata.

Al contrario, se, allora. Abbiamo ottenuto una combinazione lineare non banale di colonne uguali alla colonna zero. Quindi, le colonne sono linearmente dipendenti.

Esempio 3.3. Considera tutti i tipi di sistemi colonnari

Esaminare ogni sistema per la dipendenza lineare.
Soluzione. Considera cinque sistemi con una colonna ciascuno. Secondo la clausola 1 delle Osservazioni 3.1: i sistemi sono linearmente indipendenti e un sistema costituito da una colonna zero è linearmente dipendente.

Considera i sistemi contenenti due colonne:

- ciascuno dei quattro sistemi è linearmente dipendente, poiché contiene una colonna nulla (proprietà 1);

- il sistema è linearmente dipendente, in quanto le colonne sono proporzionali (proprietà 3):;

- ciascuno dei cinque sistemi ed è linearmente indipendente, poiché le colonne sono sproporzionate (si veda l'enunciato dell'Esempio 3.2).

Considera i sistemi contenenti tre colonne:

- ciascuno dei sei sistemi è linearmente dipendente, poiché contiene una colonna nulla (proprietà 1);

- i sistemi sono linearmente dipendenti, poiché contengono un sottosistema linearmente dipendente (proprietà 6);

- sistemi e sono linearmente dipendenti, poiché l'ultima colonna è espressa linearmente attraverso il resto (proprietà 4): e, rispettivamente.

Infine, i sistemi di quattro o cinque colonne sono linearmente dipendenti (per proprietà 6).

Classificazione matrice

In questa sezione considereremo un'altra importante caratteristica numerica di una matrice, relativa alla misura in cui le sue righe (colonne) dipendono l'una dall'altra.

Definizione 14.10 Sia data una matrice di dimensioni e un numero non superiore al più piccolo dei numeri e: ... Selezioniamo arbitrariamente le righe della matrice e delle colonne (i numeri delle righe possono differire dai numeri delle colonne). Il determinante di una matrice composta da elementi all'intersezione delle righe e delle colonne selezionate è chiamato minore dell'ordine della matrice.

Esempio 14.9 lascia stare .

Il minore del primo ordine è un qualsiasi elemento della matrice. Quindi 2,, - minori di prim'ordine.

Minori del secondo ordine:

1.prendi le righe 1, 2, colonne 1, 2, otteniamo un minore ;

2. prendi le righe 1, 3, colonne 2, 4, otteniamo un minore ;

3. prendi le righe 2, 3, colonne 1, 4, otteniamo un minore

Minori di terzo ordine:

le linee qui possono essere selezionate in un solo modo,

1.prendi le colonne 1, 3, 4, prendi un minore ;

2.prendi le colonne 1, 2, 3, prendi un minore .

Proposta 14.23 Se tutti i minori della matrice d'ordine sono uguali a zero, allora anche tutti i minori d'ordine, se esistono, sono uguali a zero.

Prova... Prendiamo un ordine minore arbitrario. Questo è il determinante della matrice d'ordine. Espandilo lungo la prima riga. Quindi, in ogni termine dell'espansione, uno dei fattori sarà minore dell'ordine della matrice originale. Per ipotesi, l'ordine dei minori è uguale a zero. Pertanto, il minore dell'ordine sarà uguale a zero.

Definizione 14.11 Il rango di una matrice è il più grande ordine diverso da zero dei minori della matrice. Si assume che il rango della matrice zero sia zero.

Non esiste un'unica designazione standard per il rango di una matrice. Seguendo il tutorial, lo indicheremo.

Esempio 14.10 La matrice nell'Esempio 14.9 ha rango 3, poiché esiste un minore di terzo ordine diverso da zero e non ci sono minori di quarto ordine.

Classificazione matrice è uguale a 1, poiché esiste un minore del primo ordine diverso da zero (elemento matrice) e tutti i minori del secondo ordine sono zero.

Il rango di una matrice quadrata di ordine non degenere è uguale, poiché il suo determinante è un minore dell'ordine e la matrice non degenere è diversa da zero.

Proposta 14.24 Quando una matrice viene trasposta, il suo rango non cambia, cioè .

Prova... Il minore trasposto della matrice originale sarà il minore della matrice trasposta e, viceversa, qualsiasi minore è il minore trasposto della matrice originale. Quando trasposto, il determinante (minore) non cambia (Proposizione 14.6). Quindi, se tutti i minori dell'ordine nella matrice originale sono uguali a zero, allora anche tutti i minori dello stesso ordine in sono uguali a zero. Se il minore dell'ordine nella matrice originale è diverso da zero, allora c'è un minore dello stesso ordine, diverso da zero. Quindi, .

Definizione 14.12 Sia il rango della matrice. Quindi qualsiasi minore di ordine diverso da zero è chiamato minore di base.

Esempio 14.11 lascia stare ... Il determinante della matrice è uguale a zero, poiché la terza riga è uguale alla somma delle prime due. Il minore del secondo ordine che si trova nelle prime due righe e nelle prime due colonne è ... Di conseguenza, il rango della matrice è uguale a due e il minore considerato è di base.

Un minore di base è anche un minore che si trova, ad esempio, nella prima e terza riga, prima e terza colonna: ... La base sarà la minore nella seconda e terza riga, nella prima e nella terza colonna: .

Il minore nella prima e seconda riga, seconda e terza colonna è zero e quindi non sarà di base. Il lettore può verificare autonomamente quali altri minori di secondo ordine saranno basici e quali no.

Poiché le colonne (righe) di una matrice possono essere sommate, moltiplicate per numeri, e si possono formare combinazioni lineari, è possibile introdurre definizioni di dipendenza lineare e indipendenza lineare del sistema di colonne (righe) della matrice. Queste definizioni sono simili alle stesse definizioni 10.14, 10.15 per i vettori.

Definizione 14.13 Un sistema di colonne (righe) si dice linearmente dipendente se esiste un insieme di coefficienti, di cui almeno uno diverso da zero, tale che una combinazione lineare di colonne (righe) con questi coefficienti sia uguale a zero.

Definizione 14.14 Un sistema di colonne (righe) è linearmente indipendente se dall'uguaglianza a zero della combinazione lineare di queste colonne (righe) segue che tutti i coefficienti di questa combinazione lineare sono uguali a zero.

Anche la seguente proposizione, che è simile alla Proposizione 10.6, è vera.

Offerta 14.25 Un sistema di colonne (righe) è linearmente dipendente se e solo se una delle colonne (una delle righe) è una combinazione lineare di altre colonne (righe) di questo sistema.

Formuliamo un teorema chiamato teorema di base minore.

Teorema 14.2 Qualsiasi colonna della matrice è una combinazione lineare di colonne passanti per la base minore.

La dimostrazione può essere trovata nei libri di testo di algebra lineare, ad esempio in,.

Proposta 14.26 Il rango di una matrice è uguale al numero massimo delle sue colonne che formano un sistema linearmente indipendente.

Prova... Sia il rango della matrice. Prendi le colonne passanti per la base minore. Supponiamo che queste colonne formino un sistema linearmente dipendente. Quindi una delle colonne è una combinazione lineare delle altre. Pertanto, in un minore di base, una colonna sarà una combinazione lineare delle altre colonne. Secondo le Proposizioni 14.15 e 14.18, questo minore di base deve essere uguale a zero, il che contraddice la definizione di minore di base. Pertanto, l'assunzione che le colonne passanti per la base minore siano linearmente dipendenti non è vera. Quindi, il numero massimo di colonne che formano un sistema linearmente indipendente è maggiore o uguale a.

Supponiamo che le colonne formino un sistema linearmente indipendente. Facciamone una matrice. Tutti i minori di matrice sono minori di matrice. Pertanto, il minore di base della matrice è al massimo di ordine. Secondo il teorema del minore di base, la colonna che non passa per il minore di base della matrice è una combinazione lineare delle colonne che passano per il minore di base, cioè le colonne della matrice formano un sistema linearmente dipendente. Ciò è contrario alla scelta delle colonne che formano la matrice. Pertanto, il numero massimo di colonne che formano un sistema linearmente indipendente non può essere maggiore. Ciò significa che è uguale a quanto dichiarato.

Proposta 14.27 Il rango di una matrice è uguale al numero massimo delle sue righe che formano un sistema linearmente indipendente.

Prova... Per la Proposizione 14.24, il rango della matrice non cambia al momento della trasposizione. Le righe della matrice diventano le sue colonne. Il numero massimo di nuove colonne della matrice trasposta (ex righe dell'originale) che formano un sistema linearmente indipendente è uguale al rango della matrice.

Proposta 14.28 Se il determinante di una matrice è zero, allora una delle sue colonne (una delle righe) è una combinazione lineare delle restanti colonne (righe).

Prova... Sia l'ordine della matrice. Il determinante è l'unico minore di una matrice quadrata con ordine. Visto che è zero, allora. Pertanto, un sistema di colonne (righe) è linearmente dipendente, ovvero una delle colonne (una delle righe) è una combinazione lineare delle altre.

I risultati delle Proposizioni 14.15, 14.18 e 14.28 danno il seguente teorema.

Teorema 14.3 Il determinante di una matrice è zero se e solo se una delle sue colonne (una delle righe) è una combinazione lineare delle restanti colonne (righe).

Trovare il rango di una matrice calcolando tutti i suoi minori richiede troppo lavoro di calcolo. (Il lettore può verificare che ci sono 36 minori del secondo ordine in una matrice quadrata del quarto ordine.) Pertanto, viene utilizzato un algoritmo diverso per trovare il rango. Per descriverlo sono necessarie alcune informazioni aggiuntive.

Definizione 14.15 Chiamiamo le seguenti azioni sulle matrici trasformazioni elementari di matrici:

1) permutazione di righe o colonne;
2) moltiplicare una riga o una colonna per un numero diverso da zero;
3) aggiungendo a una delle righe un'altra riga moltiplicata per un numero o sommando a una delle colonne di un'altra colonna moltiplicata per un numero.

Proposta 14.29 Le trasformazioni elementari non cambiano il rango della matrice.

Prova... Lascia che il rango della matrice sia uguale a, - la matrice ottenuta come risultato dell'esecuzione di una trasformazione elementare.

Considera la permutazione di riga. Sia il minore della matrice, allora c'è un minore nella matrice, che coincide o differisce da essa per la permutazione delle righe. E viceversa, ogni minore della matrice può essere associato a un minore della matrice, che coincide o differisce da essa nell'ordine delle righe. Quindi, dal fatto che nella matrice tutti i minori dell'ordine sono uguali a zero, segue che anche nella matrice tutti i minori di questo ordine sono uguali a zero. E poiché la matrice ha un minore di ordinamento diverso da zero, la matrice ha anche un minore di ordinamento diverso da zero, cioè.

Considera di moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero. Un minore della matrice corrisponde a un minore della matrice, che coincide o differisce da essa per una sola riga, che si ottiene dalla riga minore moltiplicando per un numero diverso da zero. Nel secondo caso. In tutti i casi, o e sono contemporaneamente uguali a zero o sono contemporaneamente diversi da zero. Quindi, .

Matrice inversa, un algoritmo per il calcolo della matrice inversa.

Sistema di equazioni algebriche lineari, proprietà di base di slough, omogeneità ed eterogeneità, compatibilità e inconsistenza, determinatezza di slough, forma matriciale di notazione per slough e sue soluzioni

Sistemi quadrati, metodo di Cramer

Trasformazioni di slough elementari. Metodo di Gauss per la ricerca di slough.

Criterio di compatibilità di Slough, teorema di Kronecker-Capelli, interpretazione geometrica sull'esempio di 2 equazioni con 2 incognite.

Squame omogenee. Proprietà delle soluzioni, fsr, teorema sulla soluzione generale di un sistema omogeneo. Un criterio per l'esistenza di una soluzione non banale.

Squame disomogenee. Un teorema sulla struttura della soluzione di uno slough disomogeneo. Algoritmo per la risoluzione dello slough disomogeneo.

Definizione di spazio lineare (vettoriale). Esempi di lp.

Sistemi di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Criterio di dipendenza lineare.

Condizioni sufficienti per la dipendenza lineare e l'indipendenza lineare di sistemi di vettori лп. Esempi di sistemi linearmente indipendenti in spazi di righe, polinomi, matrici.

Isomorfismo лп. Un criterio per l'isomorfismo di ln.

Il sottospazio лп e gli involucri lineari di sistemi di vettori. Dimensione di un guscio lineare.

Teorema di completamento di base

Intersezione e somma di sottospazi, somma diretta di sottospazi. Il teorema sulla dimensione della somma dei sottospazi.

Sottospazio delle soluzioni di uno slough omogeneo, sua dimensione e base. Espressione della soluzione generale di uno slough omogeneo in termini di fsr.

Matrice di transizione da una base ln all'altra e sue proprietà. Trasformazione delle coordinate del vettore quando si passa ad un'altra base.

Definizione ed esempi di operatori lineari, mappature lineari e trasformazioni lineari

Matrice di operatori lineari, trovando le coordinate dell'immagine vettoriale

Operazioni con operatori lineari. Spazio lineare lo

Un teorema sull'isomorfismo dell'insieme delle trasformazioni lineari all'insieme delle matrici quadrate

Matrice del prodotto di trasformazioni lineari. Esempi di ricerca di matrici di operatori.

Definizione e proprietà dell'operatore inverso, sua matrice.

Un criterio per l'invertibilità di un operatore lineare. Esempi di operatori reversibili e irreversibili.

Trasformazione della matrice di un operatore lineare nel passaggio a un'altra base.

Polinomio determinante e caratteristico di un operatore lineare, loro invarianza rispetto alle trasformazioni della base.

Kernel e immagine di un operatore lineare. Il teorema sulla somma delle dimensioni del nucleo e dell'immagine. Trovare il kernel e l'intervallo di un operatore lineare in una base fissa. Rango e difetto di un operatore lineare.

Un teorema sull'invarianza del kernel e l'immagine di a lo a rispetto a un ciclo commutante con esso

Molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori e loro relazione.

Un criterio per la diagonalizzabilità della matrice di un operatore lineare, condizioni sufficienti per la diagonalizzabilità di un operatore lineare.

Teorema di Hamilton-Cayley

Algebra lineare

Teoria dello slough

1. Matrici, operazioni con matrici, matrice inversa. Equazioni matriciali e loro soluzioni.

Matrice- una tabella rettangolare di numeri arbitrari disposti in un certo ordine, dimensione m * n (righe per colonne). Gli elementi della matrice sono indicati, dove i è il numero di riga e j è il numero di colonna.

Addizione (sottrazione) le matrici sono definite solo per le matrici unidimensionali. Somma (differenza) di matrici - una matrice i cui elementi sono rispettivamente la somma (differenza) degli elementi delle matrici originali.

Moltiplicazione (divisione)dal numero- moltiplicazione (divisione) di ciascun elemento della matrice per questo numero.

La moltiplicazione di matrici è definita solo per matrici, il cui numero di colonne della prima è uguale al numero di righe della seconda.

Moltiplicazione di matrici- una matrice i cui elementi sono dati dalle formule:

Trasposizione della matrice- una tale matrice B, le cui righe (colonne) sono le colonne (righe) nella matrice A originaria. Denotato

matrice inversa

Equazioni matriciali- equazioni della forma A * X = B è il prodotto di matrici, la risposta a questa equazione è la matrice X, che si trova usando le regole:

1. Dipendenza lineare e indipendenza delle colonne (righe) della matrice. Criterio di dipendenza lineare, condizioni sufficienti per la dipendenza lineare delle colonne (righe) della matrice.

Il sistema di righe (colonne) è chiamato linearmente indipendente se la combinazione lineare è banale (l'uguaglianza vale solo per a1… n = 0), dove A1… n sono colonne (righe) e a1… n sono i coefficienti di espansione.

Criterio: affinché il sistema di vettori sia linearmente dipendente, è necessario e sufficiente che almeno uno dei vettori del sistema sia linearmente espresso in termini degli altri vettori del sistema.

Condizione sufficiente:

1. Determinanti di una matrice e loro proprietà

Determinante di una matrice (determinante)- un numero tale che per una matrice quadrata A può essere calcolato dagli elementi della matrice con la formula:

, dove è il minore aggiuntivo dell'elemento

Proprietà:

1. Matrice inversa, un algoritmo per il calcolo della matrice inversa.

matrice inversa- una tale matrice quadrata X, che, insieme ad una matrice quadrata A dello stesso ordine, soddisfa la condizione:, dove E è la matrice identità dello stesso ordine di A. Qualsiasi matrice quadrata con determinante diverso da zero ha 1 inversa. Si trova usando il metodo delle trasformazioni elementari e usando la formula:

Il concetto di rango di una matrice. Teorema di base minore. Un criterio per l'uguaglianza a zero del determinante della matrice. Trasformazioni elementari di matrici. Calcolo del rango con il metodo delle trasformazioni elementari. Calcolo della matrice inversa con il metodo delle trasformazioni elementari.

Il rango della matrice è ordine minore di base (rg A)

Minore di base - un minore di ordine r diverso da zero, tale che tutti i minori di ordine r + 1 e superiori siano uguali a zero o non esistano.

Teorema Minore di Base - In una matrice arbitraria A, ogni colonna (riga) è una combinazione lineare delle colonne (righe) in cui si trova la base minore.

Prova: Supponiamo che in una matrice A di dimensione m * n, il minore di base si trovi nelle prime r righe e nelle prime r colonne. Si consideri il determinante, che si ottiene assegnando al minore fondamentale della matrice A i corrispondenti elementi della st-esima riga e k-esima colonna.

Nota che per any e questo determinante è zero. Se o, allora il determinante D contiene due righe identiche o due colonne identiche. Se e, allora il determinante D è uguale a zero, poiché è un minore dell'ordine (r + λ) -ro. Espandendo il determinante lungo l'ultima retta si ottiene:, dove sono i complementi algebrici degli elementi dell'ultima retta. Si noti che poiché questo è un minore di base. Pertanto, dove Scrivendo l'ultima uguaglianza per, otteniamo , cioè. La k-esima colonna (per qualsiasi) è una combinazione lineare delle colonne del minore di base, come richiesto.

Criterio detA = 0- Il determinante è uguale a zero se e solo se le sue righe (colonne) sono linearmente dipendenti.

Trasformazioni elementari:

1) moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;

2) aggiungere elementi di un'altra riga agli elementi di una riga;

3) permutazione di linee;

4) cancellazione di una delle stesse righe (colonne);

5) trasposizione;

Calcolo del rango - Dal teorema minore di base segue che il rango della matrice A è uguale al numero massimo di righe linearmente indipendenti (colonne nella matrice), quindi il problema delle trasformazioni elementari è trovare tutte le righe linearmente indipendenti (colonne).

Calcolo della matrice inversa- Si possono realizzare trasformazioni moltiplicando una qualche matrice T per la matrice A, che è il prodotto delle corrispondenti matrici elementari: TA = E.

Questa equazione significa che la matrice di trasformazione T è l'inversa della matrice. Allora e, quindi,

Consideriamo una matrice arbitraria, non necessariamente quadrata, mxn A.

Il rango della matrice.

Il concetto di rango di una matrice è correlato al concetto di dipendenza lineare (indipendenza) delle righe (colonne) di una matrice. Consideriamo questo concetto per le stringhe. Per le colonne - lo stesso.

Indichiamo i sink della matrice A:

e 1 = (a 11, a 12, ..., a 1n); е 2 = (а 21, а 22, ..., а 2n); ..., е m = (а m1, а m2, ..., а mn)

e k = e s se a kj = a sj, j = 1,2,…, n

Le operazioni aritmetiche su righe di una matrice (addizione, moltiplicazione per un numero) sono introdotte come operazioni eseguite elemento per elemento: е k = (λа k1, λа k2,…, λа kn);

e k + e s = [(un k1 + un s1), (un k2 + un s2),…, (un kn + un sn)].

La linea e si chiama combinazione lineare righe e 1, e 2, ..., e k, se è uguale alla somma dei prodotti di queste righe per numeri reali arbitrari:

е = λ 1 е 1 + λ 2 е 2 +… + λ k е k

Le linee e 1, e 2, ..., e m sono chiamate linearmente dipendente se ci sono numeri reali λ 1, λ 2,…, λ m, non tutti uguali a zero, che la combinazione lineare di queste righe è uguale alla riga zero: λ 1 е 1 + λ 2 е 2 +… + λ m e m = 0 ,dove 0 =(0,0,…,0) (1)

Se la combinazione lineare è uguale a zero se e solo se tutti i coefficienti λ i sono uguali a zero (λ 1 = λ 2 =… = λ m = 0), allora le righe e 1, e 2, ..., em sono chiamati linearmente indipendente.

Teorema 1... Affinché le linee e 1, e 2,…, e m siano linearmente dipendenti, è necessario e sufficiente che una di queste linee sia una combinazione lineare delle restanti linee.

Prova. Bisogno... Lascia che le righe e 1, e 2,…, e m siano linearmente dipendenti. Lasciamo, per definizione, in (1) m ≠ 0, quindi

Quella. stringa e m è una combinazione lineare del resto delle stringhe. Ch.t.d.

Adeguatezza... Sia una delle stringhe, ad esempio e m, una combinazione lineare del resto delle stringhe. Allora ci sono numeri tali che vale l'uguaglianza, che possono essere riscritti come,

dove almeno 1 dei coefficienti, (-1) è diverso da zero. Quelli. le stringhe sono linearmente dipendenti. Ch.t.d.

Definizione. Minore del 4° ordine di una matrice A di dimensione mxn è detto determinante del k-esimo ordine con elementi che giacciono all'intersezione di ogni k righe e ogni k colonne della matrice A. (k≤min (m, n)). ...

Esempio., minori del 1° ordine: =, =;

Minori di 2° ordine:, 3° ordine

La matrice del 3° ordine ha 9 minori del 1° ordine, 9 minori del 2° ordine e 1 minore del 3° ordine (il determinante di questa matrice).

Definizione. Per il rango della matrice Aè l'ordine più alto dei minori non nulli di questa matrice. Designazione - rg A o r (A).

Proprietà del rango di matrice.

1) il rango della matrice A nxm non supera la minore delle sue dimensioni, cioè

r (A) min (m, n).

2) r (A) = 0 quando tutti gli elementi della matrice sono uguali a 0, cioè A = 0.

3) Per una matrice quadrata di ordine n-esimo r (A) = n, quando non è degenere.

(Il rango di una matrice diagonale è uguale al numero dei suoi elementi diagonali diversi da zero).

4) Se il rango della matrice è r, allora la matrice ha almeno un minore di ordine r, che non è uguale a zero, e tutti i minori di ordine superiore sono uguali a zero.

Per i ranghi della matrice valgono le seguenti relazioni:

2) r (A + B) r (A) + r (B); 3) r (AB) ≤min (r (A), r (B));

3) r (A + B) ≥│r (A) -r (B) ; 4) r (A T A) = r (A);

5) r (AB) = r (A) se B è una matrice quadrata non degenere.

6) r (AB) ≥r (A) + r (B) -n, dove n è il numero di colonne della matrice A o righe della matrice B.

Definizione. Viene chiamato un minore di ordine r (A) diverso da zero base minore... (La matrice A può avere diversi minori di base). Righe e colonne, all'intersezione delle quali c'è una base minore, sono nominate di conseguenza linee di base e colonne di base.

Teorema 2 (sul minore fondamentale). Le righe di base (colonne) sono linearmente indipendenti. Qualsiasi riga (qualsiasi colonna) matrice A è una combinazione lineare di righe di base (colonne).

Prova... (Per le stringhe). Se le stringhe di base fossero linearmente dipendenti, allora secondo il teorema (1) una di queste stringhe sarebbe una combinazione lineare di altre stringhe di base, quindi, senza modificare il valore del minore di base, puoi sottrarre la combinazione lineare specificata da questa stringa e ottieni una stringa zero, e questo contraddice il fatto che la base minore è diversa da zero. Quella. le linee di base sono linearmente indipendenti.

Dimostriamo che ogni riga della matrice A è una combinazione lineare di righe di base. Perché con cambi arbitrari di righe (colonne) il determinante conserva la proprietà di essere uguale a zero, quindi, senza perdita di generalità, possiamo assumere che il minore di base si trovi nell'angolo superiore sinistro della matrice

A =, quelli. situato sulle prime r righe e sulle prime r colonne. Sia 1 £ j £ n, 1 £ i £ m. Dimostriamo che il determinante del (r + 1) esimo ordine

Se j £ r o i £ r, allora questo determinante è uguale a zero, poiché avrà due colonne identiche o due righe identiche.

Se j> r e i> r, allora questo determinante è un minore dell'ordine (r + 1) -esimo della matrice A. il rango della matrice è r, il che significa che qualsiasi minore di ordine superiore è uguale a 0.

Espandendolo in base agli elementi dell'ultima colonna (aggiunta), otteniamo

a 1j A 1j + a 2j A 2j +… + a rj A rj + a ij A ij = 0, dove l'ultimo complemento algebrico A ij coincide con il minore fondamentale M r e quindi A ij = M r ≠ 0.

Dividendo l'ultima uguaglianza per A ij, possiamo esprimere l'elemento a ij come combinazione lineare:, dove.

Fissiamo il valore i (i> r) e otteniamo che per ogni j (j = 1,2, ..., n) gli elementi della i-esima riga ei sono espressi linearmente tramite gli elementi delle righe e 1 , e 2, ..., ehm, cioè e. La linea i-esima è una combinazione lineare di linee di base:. Ch.t.d.

Teorema 3. (condizione necessaria e sufficiente per l'annullamento del determinante). Perché il determinante di ordine n-esimo D sia uguale a zero, è necessario e sufficiente che le sue righe (colonne) siano linearmente dipendenti.

Dimostrazione (pag. 40). Bisogno... Se l'ennesimo determinante di ordine D è uguale a zero, allora la base minore della sua matrice è di ordine r

Quindi, una linea è una combinazione lineare delle altre. Allora, per il Teorema 1, le righe del determinante sono linearmente dipendenti.

Adeguatezza... Se le righe di D sono linearmente dipendenti, allora per il Teorema 1 una riga A i è una combinazione lineare delle righe rimanenti. Sottraendo la combinazione lineare specificata dalla linea A i senza modificare il valore di D, otteniamo la linea zero. Pertanto, per le proprietà dei determinanti, D = 0. h.t.d.

Teorema 4. Le trasformazioni elementari non cambiano il rango della matrice.

Prova... Come è stato mostrato considerando le proprietà dei determinanti, quando si trasformano le matrici quadrate, i loro determinanti o non cambiano, o vengono moltiplicati per un numero diverso da zero, o cambiano segno. In questo caso, viene preservato l'ordine più alto di minori diversi da zero della matrice originale, ad es. il rango della matrice non cambia. Ch.t.d.

Se r (A) = r (B), allora A e B - equivalente: A ~ B.

Teorema 5. Utilizzando trasformazioni elementari, la matrice può essere ridotta a vista graduale. La matrice si chiama passo, se ha la forma:

А =, dove a ii ≠ 0, i = 1,2,…, r; r≤k.

La condizione r≤k può sempre essere ottenuta mediante trasposizione.

Teorema 6. Il rango di una matrice a gradini è uguale al numero delle sue righe diverse da zero .

Quelli. Il rango della matrice a gradini è r, poiché esiste un minore di ordine r diverso da zero:

dove sono alcuni numeri (alcuni o anche tutti questi numeri possono essere zero). Ciò significa che esistono le seguenti uguaglianze tra gli elementi delle colonne:

o , .

Dalla (3.3.1) segue che

(3.3.2)

dove è la linea zero.

Definizione. Le righe della matrice A sono linearmente dipendenti se ci sono numeri che non sono tutti uguali a zero allo stesso tempo che

(3.3.3)

Se l'uguaglianza (3.3.3) è vera se e solo se, allora le righe si dicono linearmente indipendenti. La relazione (3.3.2) mostra che se una delle righe è espressa linearmente rispetto alle altre, allora le righe sono linearmente dipendenti.

È facile vedere il contrario: se le linee sono linearmente dipendenti, allora c'è una linea che sarà una combinazione lineare del resto delle linee.

Sia, per esempio, in (3.3.3), allora .

Definizione. Sia allocato un certo minore nella matrice A R -esimo ordine e lascia che il minore ( R +1) esimo ordine della stessa matrice contiene interamente un minore. Diremo che in questo caso il minore confina con il minore (o è il confine per).

Dimostriamo ora un lemma importante.

Lemmasui minori confinanti. Se l'ordine minore R della matrice A = è diverso da zero, e tutti i minori che la confinano sono uguali a zero, allora ogni riga (colonna) della matrice A è una combinazione lineare delle sue righe (colonne) che la compongono.

Prova. Senza perdere la generalità del ragionamento, assumeremo che un minore non nullo R -esimo ordine è nell'angolo in alto a sinistra della matrice A =:

.

Per il primo k di righe della matrice A, l'affermazione del lemma è ovvia: è sufficiente includere la stessa riga con un coefficiente uguale a uno in una combinazione lineare e il resto - con coefficienti uguali a zero.

Dimostriamo ora che le restanti righe della matrice A sono espresse linearmente in termini della prima K Linee. Per fare ciò, costruisci un minore ( R +1) esimo ordine aggiungendo al minore linea k() e io esima colonna ():

.

Il minore risultante è zero per tutti k e l ... Se, allora è uguale a zero in quanto contiene due colonne identiche. Se, allora il minore risultante è un minore confinante per e, quindi, è uguale a zero per l'ipotesi del lemma.

Espandiamo il minore in termini degli elementi di quest'ultimoio a colonna:

(3.3.4)

dove sono i complementi algebrici degli elementi. Il complemento algebrico è quindi un minore della matrice A. Dividere (3.3.4) per ed esprimere in termini di:

(3.3.5)

dove , .

Supponendo di ottenere:

(3.3.6)

L'espressione (3.3.6) significa che K -esima riga della matrice A è espressa linearmente in termini della prima linee r.

Poiché la trasposizione della matrice non cambia i valori dei suoi minori (a causa delle proprietà dei determinanti), allora tutto ciò che è stato dimostrato è vero anche per le colonne. Il teorema è dimostrato.

corollario io ... Qualsiasi riga (colonna) di una matrice è una combinazione lineare delle sue righe di base (colonne). Infatti, il minore di base della matrice è diverso da zero e tutti i minori confinanti con esso sono uguali a zero.

Corollario II. Determinante n -esimo ordine se e solo se è uguale a zero quando contiene righe (colonne) linearmente dipendenti. La sufficienza della dipendenza lineare delle righe (colonne) per l'uguaglianza del determinante a zero è stata dimostrata in precedenza come proprietà dei determinanti.

Dimostriamo la necessità. Sia data una matrice quadrata n -esimo ordine, il cui unico minore è zero. Quindi ne consegue che il rango di questa matrice è minore di n , cioè. esiste almeno una riga che è una combinazione lineare delle righe di base di questa matrice.

Dimostriamo un altro teorema sul rango di una matrice.

Teorema.Il numero massimo di righe linearmente indipendenti di una matrice è uguale al numero massimo delle sue colonne linearmente indipendenti ed è uguale al rango di questa matrice.

Prova. Sia il rango della matrice А = uguale a R. Allora qualsiasi k le stringhe di base sono linearmente indipendenti, altrimenti il ​​minore di base sarebbe zero. D'altra parte, qualsiasi R +1 o più linee sono linearmente dipendenti. Supponendo il contrario, potremmo trovare un minore di ordine maggiore di R diverso da zero per il Corollario 2 del lemma precedente. Quest'ultimo contraddice il fatto che l'ordine massimo dei minori diversi da zero è R ... Tutto ciò che abbiamo dimostrato per le righe è vero anche per le colonne.

In conclusione, presentiamo un altro metodo per trovare il rango di una matrice. Il rango di una matrice può essere determinato trovando un minore di ordine massimo diverso da zero.

A prima vista, ciò richiede di calcolare, anche se un numero finito, ma forse molto elevato, di minori di questa matrice.

Il seguente teorema, tuttavia, permette di fare notevoli semplificazioni in proposito.

Teorema.Se il minore della matrice A è diverso da zero e tutti i minori confinanti con esso sono uguali a zero, allora il rango della matrice è R.

Prova. È sufficiente mostrare che qualsiasi sottosistema di righe della matrice per S> r sarà linearmente dipendente dalle condizioni del teorema (ciò implicherà che r è il numero massimo di righe linearmente indipendenti della matrice o uno qualsiasi dei suoi minori di ordine maggiore di k sono uguali a zero).

Supponiamo il contrario. Lascia che le righe siano linearmente indipendenti. Dal lemma sui minori confinanti, ciascuno di essi sarà espresso linearmente in termini di versi contenenti un minore e che, essendo diversi da zero, sono linearmente indipendenti:

(3.3.7)

Si consideri la matrice K dei coefficienti delle espressioni lineari (3.3.7):

.

Le righe di questa matrice sono indicate con ... Saranno linearmente dipendenti, poiché il rango della matrice K, cioè il numero massimo delle sue linee linearmente indipendenti non supera R< S ... Pertanto, ci sono tali numeri, non tutti sono uguali a zero, che

Passiamo all'uguaglianza dei componenti

(3.3.8)

Consideriamo ora la seguente combinazione lineare:

o