Дифференциальная схема и интегральная rc цепи. Дифференцирующие цепи. Фильтр верхних частот. Дифференцирующая цепь RC

Дифференцирующей называется цепь, сигнал на выходе которой пропорционален производной от входного сигнала.

Сигналом называют физическую величину, несущую информацию. Нижу будем рассматривать импульсивные сигналы напряжения – импульсы напряжения.

Схема реальных дифференцирующих цепей показана на рис 13-33 а и 13-33 б.

Коэффициент пропорциональности М представляет собой постоянную времени цепи .

Для цепи RC=RC, для цепиRL=L/R.

Рис 13-33. Схема дифференцирующих цепей.

Дифференцирующая RC-цепь. (фильтр нижних частот)

Эта цепь является также четырехполюсником. В дифференцирующей RC-цепи сигнал снимается с резистораR, то есть
(см рис 13-33 а). Дифференцирующий (входной) сигнал имеет прямоугольную форму(см ниже рис 13-33 а).

Рассмотрим действие такого сигнала (импульса напряжения) на дифференцирующую RC-цепь.

Рис 13-34. Дифференцируемый сигнал (а) и сигнал на выходе дифференцирующей RC-цепи (б),

В момент (включение цепи) напряжение на выходе
. Это следует из того, что в момент включения в цепи по второму закону коммутации напряжение на конденсаторе сохраняет свое значение, которое было до коммутации, то есть равно 0, следовательно, все напряжение будет приложено к резисторуR(
).

Затем
будет уменьшаться по экспоненциальному закону

(13.29)

Если
,за время действия входного импульса (
)конденсатор почти полностью зарядится и в момент, когда действие импульса закончится
0, напряжение на конденсаторестанет равно(на рис 13-34 бпоказано пунктиром), а в напряжение на резистореRупадет до 0. Так как теперь цепь отключена от входного напряжения (
=0,
), конденсатор начнет разряжаться и через время
напряжение на нем станет равно 0. Ток в цепи с моментаизменит направление, а напряжение на резистореRв моментскачком станет равно
и начнет спадать по экспоненте
, а через время
станет равно 0.

Таким образом, на выходе цепи образуется два остроконечных импульса положительной и отрицательной полярностей, площади которых равны, а амплитуда равна
.

Если
форма выходного импульса
будет иметь другой вид, чем на рис

Рассмотрим два крайних случая:
и
(смотри рис 13-35 б и 13-35 в)

Рис 13-35. Изменение формы импульса на выходе дифференцирующей цепи в зависимости от соотношения между и.

А.
(см рис 13-35 б)

В этом случае за время длительности импульса конденсатор успевает полностью зарядиться еще до того, как окончится действие импульса. На резисторе в момент включения получается скачок напряжения положительной полярности, равный амплитуде прямоугольного импульса , а затем напряжение убывает по крутой экспоненте и по мере зарядки конденсатора спадает до нуля до окончания действия импульса. По окончании действия импульса (в момент) конденсатор начнет разряжаться, а за счет прохождения тока через резисторRна входе образуется импульс отрицательной полярности амплитудной -. Площадь этого импульса будет равна площади положительного импульса. Такие цепи называются дифференцирующими укорачивающими.

Б.
(см рис 13-35).

Так как время зарядки конденсатора примерно равно
, конденсатор успеет зарядиться не ранее, чем через
. Следовательно, и напряжение на резисторе
, равное в момент, уменьшится по экспоненте, станет равно нулю через
. Поэтому за время
импульс
на сопротивлениеRпрактически не искажается и повторяет по форме импульс на входе.

Такая цепь используется как переходная между усилительными каскадами и предназначается для исключения влияния действия постоянной составляющей напряжение с коллектора транзистора предшествующего каскада на последующий.

Из формул и рис 13-34 и 13-35 можно заключить, что амплитуда выходных импульсов при различных соотношениях между иостается неизменной и равной, а длительность их с уменьшениемуменьшается. Точность дифференцирования будет тем выше, чем меньшепо сравнению с.

Наиболее точное дифференцирование можно получиться с помощью операционных усилителей.

Рассмотрим АЧХ дифференцирующей RC-цепи, изображённой на рис. 13-35а.

Рис. 13-35 а. АЧХ дифференцирующей цепи RC-цепи.

Частотный коэффициент передачи дифференцирующей RC-цепи равен:

Если приравнять
к 1/
, то получают нижнюю границу полосы пропускания дефференцирующейRC-цепи
.

Из графика 2-35а видно, что полоса пропускания дифференцирующей RC-цепи ограничена только со стороны нижних частот.

Дифференцирующие цепи используют тогда, когда требуется преобразовать напряжение заданной формы в сигнал ипых , изменяющийся по закону

где - коэффициент пропорциональности.

Простейшая дифференцирующая RС-цепь аналогична интегрирующей RС-цепи и отличается только тем, что выходное напряжения снимается не с конденсатора, а с активного сопротивления (рис. 6.19, а). Напряжение на ее выходе

Напряжение на конденсаторе .

Если т. е. -цепь успешно выполняет дифференцирование только в этом случае.

Оценим приближенно погрешность, вносимую членом , для чего продифференцируем выражение для , считая

Подставив (6.98) в (6.96), получим

Таким образом, для улучшения дифференцирования надо, чтобы

(6.100)

т. е. необходимо уменьшать постоянную времени -цепи ). Это требование противоположно требованию к интегрирующей цепи, где для точного интегрирования увеличивали постоянную времени.

Выходной сигнал в дифференцирующей цепи, так же как и в интегрирующей, уменьшается при повышении точности выполнения соответствующего преобразования. Действительно, уменьшение постоянной времени в дифференцирующей цепи приводит к уменьшению члена , вызывающего погрешность дифференцирования. При этом уровень выходного сигнала снижается пропорционально уменьшению .

При дифференцировании наибольшая погрешность получается в течение времени нарастания (или среза) импульса. Это обусловлено тем, что при этих процессах вторая производная, выражающая скорость изменения крутизны фронта (или среза), имеет наибольшее значение.

Наименьшая погрешность имеет место в те промежутки времени, в которых скорость изменения входного напряжения постоянна.

Рис. 6.19. Дифференцирующая -цепь (а) и диаграммы изменения напряжения на ее отдельных участках (б, в, г)

Выясним возможности и условия дифференцирования -цепью синусоидального изменяющегося напряжения .

При точном дифференцировании этот сигнал должен изменяться по закону

(6.101)

Таким образом, выходное напряжение должно быть сдвинуто по фазе на 90° относительно входного. В реальной RС-цепи амплитуда и фаза отличаются от соответствующих значений идеальной дифференцирующей цепи. Выходное напряжение

а фазовый угол

(6.103)

Для того чтобы иметь возможность дифференцировать синусоидально изменяющееся напряжение частотой , необходимо выполнить условие Однако при этом уменьшается и значение выходного сигнала. Поэтому приходится ограничиваться компромиссным решением, при котором выходной сигнал и фазовая погрешность не выходят за пределы допустимых значений.

Если, например, принять , то фазовая погрешность дифференцирования 14°. Такие фазовые искажения выходного сигнала в ряде случаев общего применения можно считать приемлемыми. При этом значение выходного сигнала мало зависит от , так как да 1, поэтому его можно считать близким к теоретическому.

При дифференцировании импульса активная ширина его спектра ограничена частотой . Если неравенство выполняется при , то оно будет обязательно выполняться и при . Это позволяет исходя из активной ширины спектра определить требования к постоянной времени дифференцирующей цепи:

Для грубой оценки активной ширины спектра при равных длительностях фронта и среза импульса можно использовать приближенное выражение

(6.105)

где для импульсов, у которых , т. е. для наиболее часто встречающихся.

Тогда, подставив в (6.104) значение , получим

Таким образом, постоянная времени дифференцирующей -цепи общего применения должна быть примерно в десять раз меньше активной длительности фронта дифференцируемого импульса.

При дифференцировании однополярного импульса на выходе дифференцирующей цепи образуется двухполярный импульс Следовательно, длительность выходного импульса напряжения одной какой-либо полярности меньше длительности дифференцируемого импульса и рассматриваемая цепь обеспечивает выполнение операции укорочения.

Пусть на входе RС-цепи (рис. 6.19, а) действует идеальный прямоугольный импульс, который приходит в момент времени (рис. ). При этом конденсатор С начинает заряжаться и напряжение на нем изменяется по закону

Зарядный ток , протекающий через сопротивление R, создает на выходе RС-цепи экспоненциальный импульс ивых положительной полярности, который полностью затухает до окончания действия входного импульса. После окончания входного импульса равновесие, достигнутое в цепи , нарушается. Происходит разряда конденсатора через резистор R и источник импульсов. Выходной импульс отрицательной полярности, возникающий при разрядке конденсатора, отличается от рассмотренного только полярностью.

Таким образом, при укорочении прямоугольного импульса на выходе цепи получаются экспоненциальные импульсы напряжения положительной и отрицательной полярности, высота которых равна высоте входных импульсов . Длительность выходных импульсов определяется постоянной времени . Если ее измерять на уровне , то она определяется из выражения

Иногда активную длительность импульса измеряют на уровне :

Постоянную времени дифференцирующей цепи при ее использовании для укорочения импульсов выбирают значительно большей, чем при выполнении операции точного дифференцирования.

Ее значение находят исходя из требуемой активной длительности импульса, определенной на уровне .

В реальных случаях приходится учитывать внутреннее сопротивление источника, к которому рассматриваемая цепь подключена (рис. 6.20, я). При этом характер процессов в -цепи не меняется. Однако увеличение активного сопротивления цепи приводит к возрастанию постоянной времени . Это ограничивает возможность получения коротких импульсов. Кроме того, уменьшаются зарядный и разрядный токи i конденсатора, что приводит к уменьшению выходного напряжения . Максимальное значение выходного напряжения находят из уравнения

RC цепь может изменять форму сложных сигналов так, что выходная форма будет совсем не похожа на входную. Величина искажения определяется постоянной времени RC цепи. Тип искажения определяется выходной компонентой, включенной параллельно выходу. Если параллельно выходу включен резистор, то цепь называется дифференцирующей. используется в цепях синхронизации, для получения узких импульсов из прямоугольных , а также для получения переключающих импульсов и меток. Если параллельно выходу включен конденсатор, то цепь называется интегрирующей. используется в цепях формирования сигналов в радио, телевидении, радиолокаторах и в компьютерах .

На рисунке изображена дифференцирующая цепь .

Напомним, что сложные сигналы состоят из основной частоты и большого числа гармоник. Когда сложный сигнал поступает на дифференцирующую цепь, она влияет на каждую частоту по разному. Отношение емкостного сопротивления (Х с) к R для каждой гармоники различно. Это приводит к тому, что каждая гармоника сдвигается по фазе и уменьшается по амплитуде в разной степени. В результате исходная форма сигнала искажается. На рисунке показано, что происходит с сигналом прямоугольной формы, прошедшим дифференцирующую цепь.

Подобна дифференцирующей, за исключением того, что параллельно выходу включен конденсатор.

На рисунке показано, как изменяется форма прямоугольного сигнала, прошедшего интегрирующую цепь.

Другим типом цепи, изменяющим форму сигнала, является ограничитель сигнала . На рисунке показана форма сигнала на входе ограничителя: отрицательная часть входного сигнала обрезана.

Цепь ограничения может быть использована для обрезания пиков приложенного сигнала, для получения прямоугольного сигнала из синусоидального, для удаления положительных или отрицательных частей сигнала или для поддержания амплитуды входного сигнала на постоянном уровне. Диод смещен в прямом направлении и проводит ток в течение положительного полупериода входного сигнала. В течение отрицательного полупериода входного сигнала диод смещен в обратном направлении и ток не проводит. Цепь является, по существу, однополупериодным выпрямителем .

Используя напряжение смещения можно регулировать величину обрезаемого сигнала. Параллельный ограничитель может быть смещен для изменения уровня ограничения сигнала. Если необходимо ограничить сигнал и с положительной, и с отрицательной сторон, используются два смещенных диода, включенных параллельно выходу. Это позволяет получить выходной сигнал с амплитудой, не превышающей заранее определенный положительный и отрицательный уровень. При таком преобразовании выходной сигнал приобретает форму, близкую к прямоугольной. Следовательно, эта цепь называется генератором прямоугольных колебаний. На рисунке изображена другая схема ограничителя, ограничивающего сигнал как с положительной стороны, так и с отрицательной с помощью двух стабилитронов.

Выходной сигнал ограничен с двух сторон напряжениями стабилизации стабилитронов. Между этими пределами ни один стабилитрон не проводит и входной сигнал проходит на выход.

Иногда желательно изменить уровень отсчета постоянного тока для сигнала переменного тока. Уровень отсчета постоянного тока — это уровень, относительно которого измеряется сигнал переменного тока. Фиксатор может использоваться для фиксации верхнего или нижнего значения сигнала при заданном постоянном напряжении. В отличие от ограничителя сигнала, фиксатор не изменяет форму сигнала. Диодный фиксатор называют восстановителем постоянной составляющей.

Эта цепь обычно используется в радиолокаторах, телевидении, телекоммуникациях и в компьютерах. В изображенной цепи на вход подан сигнал прямоугольной формы. Назначение цепи — ограничить максимальное значение сигнала напряжением 0 вольт без изменения формы сигнала.

Дифференцирующие цепи – это цепи, в которых напряжение на выходе пропорционально производной входного напряжения. Эти цепи решают две основные задачи преобразования сигналов: получение импульсов очень малой длительности (укорочение импульсов), которые используются для запуска управляемых преобразователей электрической энергии, триггеров, одновибраторов и других устройств; выполнение математической операции дифференцирования (получение производной по времени) сложных функций, заданных в виде электрических сигналов, что часто встречается в вычислительной технике, аппаратуре авторегулирования и др.

Схема емкостной дифференцирующей цепи показана на рис. 1. Входное напряжение прикладывается ко всей цепи, а выходное снимается с резистора R. Ток, протекающий через конденсатор, связан с напряжением на нем известным соотношением i C = C (dU C /dt). Учитывая, что этот же ток протекает через резистор R, запишем выходное напряжение

Если U ВЫХ << U ВХ, что справедливо, когда падение напряжения на резисторе много меньше напряжения U С, то уравнение можно записать в приближенном виде U ВЫХ . Соотношение U ВЫХ << U ВХ » U C выполняется, если величина сопротивления R много меньше величины реактивного сопротивления конденсатора, т.е. R << 1/wC (для сигнала синусоидальной формы) и R << 1/w в C, где w в – частоты высшей гармоники импульсного сигнала.

Величина t = RC называется постоянной времени цепи. Из курса электричества известно, что конденсатор заряжается (разряжается) через резистор по экспоненциальному закону. Через промежуток времени t = t = RC конденсатор заряжается на 63 % от поданного входного напряжения, через t = 2,3 t - до 90 % от U ВХ и через 4,6 t - до 99 % от U ВХ.

Пусть на вход дифференцирующей цепи (рис. 1) подан прямоугольный импульс длительностью t И (рис. 2, а). Пусть t И = 10 t. Тогда выходной сигнал будет иметь форму, показанную на рис. 2, г. Действительно, в начальный момент времени напряжение на конденсаторе равно нулю, и мгновенно оно измениться не может. Поэтому все входное напряжение прикладывается к резистору. В дальнейшем конденсатор заряжается экспоненциально убывающим током. При этом напряжение на конденсаторе увеличивается, а напряжение на резисторе уменьшается так, что в каждый момент времени выполняется равенство U BX = U C + U ВЫХ. Через промежуток времени t ³ 3 t конденсатор заряжается практически до входного напряжения, зарядный ток прекратится и выходное напряжение станет равным нулю.

Когда входной импульс закончится (U BX = 0), конденсатор начнет разряжаться через резистор R и входную цепь. Направление тока разряда противоположно направлению зарядного тока, поэтому полярность напряжения на резисторе меняется. По мере разряда конденсатора напряжение на нем уменьшается, а вместе с ним уменьшается напряжение на резисторе R. В результате получаются укороченные импульсы (при t И > 4¸5 RC). Изменение формы импульса при других соотношениях длительности импульса и постоянной времени показано на рис. 2,б,в.

Интегрирующая цепь – это цепь, у которой выходное напряжение пропорционально интегралу по времени от входного напряжения. Отличаются интегрирующие цепи (рис. 3) от дифференцирующих (рис. 1) тем, что выходное напряжение снимается с конденсатора. Когда напряжение на конденсаторе С незначительно по сравнению с напряжением на резисторе R, т.е. U ВЫХ = U C << U R , то ток i в цепи пропорционален входному напряжению, которое прикладывается ко всей цепи. Поэтому

Постоянная времени цепи RC

Электрическая цепь RC

Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt) , а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R , где U - напряжение заряда конденсатора.

Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:

Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R

Интегрируем:

Из таблицы интегралов здесь используем преобразование

Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = - t/RC + Const .
Выразим из него напряжение U потенцированием: U = e -t/RC * e Const .
Решение примет вид:

U = e -t/RC * Const.

Здесь Const - константа, величина, определяемая начальными условиями.

Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону e -t/RC .

Экспонента - функция exp(x) = e x
e – Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828...

Постоянная времени τ

Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U , в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения U C и определится выражением:

Тогда напряжение U C на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:

U C = U( 1 - e -t/RC )

При t = RC , напряжение на конденсаторе составит U C = U( 1 - e -1 ) = U( 1 - 1/e) .
Время, численно равное произведению RC , называется постоянной времени цепи RC и обозначается греческой буквой τ .

Постоянная времени τ = RC

За время τ конденсатор зарядится до (1 - 1/e )*100% ≈ 63,2% значения U .
За время 3τ напряжение составит (1 - 1/e 3)*100% ≈ 95% значения U .
За время 5τ напряжение возрастёт до (1 - 1/e 5)*100% ≈ 99% значения U .

Если к конденсатору емкостью C , заряженному до напряжения U , параллельно подключить резистор сопротивлением R , тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.

Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять U C = Ue -t/τ = U/e t/τ .

За время τ напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e , что составит 1/e *100% ≈ 36.8% значения U .
За время 3τ конденсатор разрядится до (1/e 3)*100% ≈ 5% от значения U .
За время 5τ до (1/e 5)*100% ≈ 1% значения U .

Параметр τ широко применяется при расчётах RC -фильтров различных электронных цепей и узлов.

Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах

Электрической цепи

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

,

(3)

где и - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная - свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

See more at: http://www.toehelp.ru/theory/toe/lecture24/lecture24.html#sthash.jqyFZ18C.dpuf

Интегрирующая цепь RC

Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R и конденсатора ёмкостью C , представленную на рисунке.

Элементы R и C соединены последовательно, значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt) и закона Ома U/R . Напряжение на выводах резистора обозначим U R .
Тогда будет иметь место равенство:

Проинтегрируем последнее выражение . Интеграл левой части уравнения будет равен U out + Const . Перенесём постоянную составляющую Const в правую часть с тем же знаком.
В правой части постоянную времени RC вынесем за знак интеграла:

В итоге получилось, что выходное напряжение U out прямо-пропорционально интегралу напряжения на выводах резистора, следовательно, и входному току I in .
Постоянная составляющая Const не зависит от номиналов элементов цепи.

Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения U out от интеграла входного U in , необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока.

Нелинейное соотношение U in /I in во входной цепи вызвано тем, что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e -t/τ , которая наиболее нелинейна при t/τ ≥ 1, то есть, когда значение t соизмеримо или больше τ .
Здесь t - время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.
τ = RC - постоянная времени - произведение величин R и C .
Если взять номиналы RC цепи, когда τ будет значительно больше t , тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ ) может быть достаточно линейным, что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током.

Для простой цепи RC постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала, тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выводах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость U in /I in ≈ R .
В таком случае выходное напряжение U out будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного U in .
Чем больше величины номиналов RC , тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точной будет кривая функции.

В большинстве случаев, переменная составляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const , тогда номиналы RC можно выбирать по возможности большими, но с учётом входного сопротивления следующего каскада.

В качестве примера, сигнал с генератора - положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC с номиналами:
R = 10 kOhm, С = 1 uF. Тогда τ = RC = 10 mS.

В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно.
График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной составляющей 0.5в будет треугольной формы, потому как участки, не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её a ), а интеграл константы будет линейной функцией. ∫adx = ax + Const . Величина константы a определит тангенса угла наклона линейной функции.

Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ∫sinxdx = -cosx + Const .
В данном случае постоянная составляющая Const = 0.

Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение.
Интеграл линейного участка функции - парабола. В простейшем варианте ∫xdx = x 2 /2 + Const .
Знак множителя определит направление параболы.

Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения.

Рассмотрим в качестве интегратора Операционный Усилитель (ОУ) по схеме, показанной на рисунке.

С учётом бесконечно большого сопротивления ОУ и правила Кирхгофа здесь будет справедливо равенство:

I in = I R = U in /R = - I C .

Напряжение на входах идеального ОУ здесь равно нулю, тогда на выводах конденсатора U C = U out = - U in .
Следовательно, U out определится, исходя из тока общей цепи.

При номиналах элементов RC , когда τ = 1 Sec, выходное переменное напряжение будет равно по значению интегралу входного. Но, противоположно по знаку. Идеальный интегратор-инвертор при идеальных элементах схемы.

Дифференцирующая цепь RC

Рассмотрим дифференциатор с применением Операционного Усилителя.

Идеальный ОУ здесь обеспечит равенство токов I R = - I C по правилу Кирхгофа.
Напряжение на входах ОУ равно нулю, следовательно, выходное напряжение U out = U R = - U in = - U C .
Исходя из производной заряда конденсатора, закона Ома и равенства значений токов в конденсаторе и резисторе, запишем выражение:

U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU in /dt)

Отсюда видим, что выходное напряжение U out пропорционально производной заряда конденсатора dU in /dt , как скорости изменения входного напряжения.

При величине постоянной времени RC , равной единице, выходное напряжение будет равно по значению производной входного напряжения, но противоположно по знаку. Следовательно, рассмотренная схема дифференцирует и инвертирует входной сигнал.

Производная константы равна нулю, поэтому постоянная составляющая при дифференцировании на выходе будет отсутствовать.

В качестве примера, подадим на вход дифференциатора сигнал треугольной формы. На выходе получим прямоугольный сигнал.
Производная линейного участка функции будет константой, знак и величина которой определится наклоном линейной функции.

Для простейшей дифференцирующей цепочки RC из двух элементов используем пропорциональную зависимость выходного напряжения от производной напряжения на выводах конденсатора.

U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)

Если взять номиналы элементов RC, чтобы постоянная времени была на 1-2 порядка меньше длины периода, тогда отношение приращения входного напряжения к приращению времени в пределах периода может определять скорость изменения входного напряжения в определённой степени точно. В идеале это приращение должно стремиться к нулю. В таком случае основная часть входного напряжения будет падать на выводах конденсатора, а выходное будет составлять незначительную часть от входного, поэтому для вычислений производной такие схемы практически не используются.

Наиболее часто дифференцирующие и интегрирующие цепи RC применяют для изменения длины импульса в логических и цифровых устройствах.
В таких случаях номиналы RC рассчитывают по экспоненте e -t/RC исходя из длины импульса в периоде и требуемых изменений.
Например, ниже на рисунке показано, что длина импульса T i на выходе интегрирующей цепочки увеличится на время 3τ . Это время разряда конденсатора до 5% амплитудного значения.

На выходе дифференцирующей цепи амплитудное напряжение после подачи импульса появляется мгновенно, так как на выводах разряженного конденсатора оно равно нулю.
Далее следует процесс заряда и напряжение на выводах резистора убывает. За время 3τ оно уменьшится до 5% амплитудного значения.

Здесь 5% - величина показательная. В практических расчётах этот порог определится входными параметрами применяемых логических элементов.