Формула уравнения с двумя неизвестными

— общий вид системы 2 х линейных уравнений с двумя неизвестными. a1,a2,b1,b2 коэффициенты, с1 и с2 — свободные числа (каждое из уравнений системы являются уравнениями прямых на плоскости).

Решаются такие системы по формулам Крамера: где = a1b2 – a2b1,;

= c1b2 – c2b1, a1c2 – a2c1.

а) Если , то система имеет одно решение (прямые пересекаются).

б) Если , то система не имеет решений (прямые параллельны) или имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают).

Геометрически решение систем рассматривается как взаимное расположение прямых на плоскости.

Пример 1.Решить систему

Решение. Вычислим определители.

Найдем значения переменных.

Ответ:

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Гаусса.

Пример 2.Решить систему

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, получим:

Ответ:

Решение систем 3-х уравнений с 3-мя неизвестными по формулам Крамера

Общий вид системы

Тогда: где

= a1(b2c3 – b3c2) – b1( a2c3 – a3c2)+c1(a2b3 – a3b2),

= d1(b2c3 – b3c2) – b1( d2c3 – d3c2)+c1(d2b3 – d3b2),

= a1(d2c3 – d3c2) – d1( a2c3 – a3c2)+c1(a2d3 – a3d2),

= a1(b2d3 – b3d2) – b1( a2d3 – a3d2)+d1(a2b3 – a3b2).

Возможны следующие варианты решений:

Если , то система имеет единственное решение.

Если , , то , а y и z выражаются через х.

Если , , то система не имеет решений.

Геометрически решение систем рассматривается как взаимное расположение плоскостей в пространстве.

Пример 1.Решить систему.

,

Найдем значения переменных.

Ответ: х = 2, у = 3, z = 1 или (2;3;1).

Упражнения.

№6.1. Вычислить определители. Решить уравнения:

а) б) в) г)

№6.2. Вычислить определители:

а) б) в) г)

№6.3. Решить уравнения:

а) б) в)

№6.4. Фирма производит два вида тортов. Затраты ресурсов для их производства можно представить системой. Узнайте, решив систему по формулам Крамера, какое наименьшее количество тортов необходимо выпустить фирме, чтобы производство было рентабельным.

а) 3х – 2у = 5, 4х + у = 14; б) 4х + у = 17, 3х – 5у = 7; в) 3х – 2у = 9, 6х – 4у = 18.

№6.5. Фирма производит три типа станков. Затраты ресурсов для их производства можно представить системой. Узнайте, решив систему по формулам Крамера, какое наименьшее количество станков необходимо выпустить фирме, чтобы производство было рентабельным.

а) 10х + у + 4z = 1, x –2у –7z = –3 , 2x + y + 5z = 0; б) 5x –3y + 2z = 19, 4x + 5y –3z = 31, 3x + 7y –4z = 31; в) 2x –3y + z = –3, x + 5y – z = –1, 3x + y + 4z = 11.
Читайте также:  Ost в pst outlook 2010

Ответы. № 6.1. а) 29; б)18; в) 7; г) – 10; д) 0.№ 6.2. а) – 92; б) – 20;

в) – 77; г) 0. № 6.3. а) – 1 и 2; б) 1,5 и 0,5; в) – 5 и 3. № 6.4. а) (3;2);

б) (4;1); в) (5;3 ). №6.5. а) = – 29, (0;5; – 1); б) = 10, (5;4;3); в) = 49, (– 2;1;4).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8921 — | 7230 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.

Определение

Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:

a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.

Ниже приведены несколько примеров:

Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.

Решение задач

Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.

Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.

При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).

Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.

У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9

Приведем исходное равенство к следующему виду:

Читайте также:  Javascript delete array element

В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.

При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.

Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.

Оба равенства равносильны.

Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.

Оба уравнения также равносильны.

Система уравнений с двумя неизвестными

Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.

Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.

Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.

Метод подстановки

  1. Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
  2. Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
  3. Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.

Метод сложения

  1. Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
  2. Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
  3. Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.

Графический метод

  1. Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
  2. Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
  3. Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
  4. Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.

При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.

В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.

Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!

Читайте также:  Программа для бесплатного скачивания видео с youtube

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.

Теоретический материал

Глава 8. Системы уравнений

8.1. Линейное уравнение с двумя неизвестными

Уравнение вида , где и — неизвестные и свободный член — любые действительные числа, называется линейным уравнением с двумя неизвестными.
— нормальный вид такого уравнения.
Каждая пара значений и , удовлетворяющая уравнению с двумя неизвестными, называется решением этого уравнения.

А как решается, например, уравнение ?

Одному из неизвестных можно дать любое значение; тогда получим уравнение с одним неизвестным, из которого найдем значение второго неизвестного. Пусть , тогда
,
,
.
Если бы неизвестному дали значение , то нашли бы значение . Пара чисел и удовлетворяет данному уравнению — обращает его в верное равенство :
,
,
.
Таких пар чисел существует бесконечно много.

Так сколько решений обычно имеют уравнения с двумя неизвестными?

Линейное уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечное множество решений и поэтому называется неопределенным уравнением.

А может ли быть такое, чтобы такое уравнение вообще не имело корней?

Да, конечно, такое может быть. Например, уравнение . После приведения его к нормальному виду получим:
,
,
(или ) — равенство неверно, т.к. ему не удовлетворяют никакие значения и .

Если в уравнении первой степени с двумя неизвестными коэффициент при равен нулю, то получим уравнение с одним неизвестным ( ) . Например,
;
;
.
Графиком последнего уравнения, а поэтому и двух других равносильных ему уравнений является прямая, параллельная оси ординат.
Итак, графиком уравнения , если и не равны нулю одновременно, является прямая линия. Ее обычно строят по точкам пересечения с осями координат. Если и , то возможны два случая:
1) или — уравнение не имеет ни одного решения и ему не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости;
2) или — уравнение имеет бесчисленное множество решений (причем значения и здесь даже не зависят друг от друга) и ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости.

Оставьте ответ

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *