Densità spettrale di potenza di un processo casuale. Metodi per il calcolo del PSD. Funzioni di densità spettrale. Metodi per stimare la densità spettrale di potenza del segnale Densità spettrale di potenza del segnale

Intendendo un insieme (insieme) di funzioni del tempo mediante un processo casuale, va tenuto presente che funzioni con forme diverse corrispondono a caratteristiche spettrali diverse. La media della densità spettrale complessa introdotta nelle sezioni 2.6 o 2.1 su tutte le funzioni porta a uno spettro zero del processo (at) a causa della casualità e dell'indipendenza delle fasi delle componenti spettrali nelle diverse realizzazioni.

Tuttavia, è possibile introdurre il concetto di densità spettrale del quadrato medio di una funzione casuale, poiché il valore quadratico medio non dipende dal rapporto di fase delle armoniche sommate. Se sotto funzione casuale si intende tensione o corrente elettrica, allora il quadrato medio di questa funzione può essere considerato come la potenza media rilasciata in una resistenza di 1 ohm. Questa potenza è distribuita su frequenze in una certa banda, a seconda del meccanismo di formazione di un processo casuale. La densità spettrale di potenza media è la potenza media per Hz a una data frequenza. La dimensione della funzione, che è il rapporto tra la potenza e la banda di frequenza, è

La densità spettrale di un processo casuale può essere trovata se si conosce il meccanismo di formazione di un processo casuale. Per quanto riguarda il rumore associato alla struttura atomistica della materia e dell'elettricità, questo problema sarà considerato nel § 7.3. Qui ci limitiamo ad alcune definizioni generali.

Avendo selezionato una qualche realizzazione dall'insieme e limitandone la durata ad un intervallo finito T, si può applicare ad essa la solita trasformata di Fourier e trovare la densità spettrale (ω). Quindi l'energia del segmento di implementazione considerato può essere calcolata utilizzando la formula (2.66):

Dividendo questa energia per otteniamo la potenza media k-esima implementazione sul segmento T

All'aumentare di T, l'energia aumenta, ma il rapporto tende a un certo limite. Fatto il passaggio al limite, otteniamo

è la densità spettrale della potenza media dell'implementazione considerata.

In generale, il valore dovrebbe essere mediato su più implementazioni. Limitandoci in questo caso alla considerazione di un processo stazionario ed ergodico, possiamo assumere che la funzione trovata facendo la media su una implementazione caratterizzi l'intero processo nel suo insieme.

Omettendo l'indice k, otteniamo l'espressione finale per la potenza media del processo casuale

Se si considera un processo casuale con un valore medio diverso da zero, la densità spettrale dovrebbe essere presentata nella forma

La caratteristica più importante dei processi casuali stazionari è la densità spettrale di potenza, che descrive la distribuzione della potenza del rumore nello spettro delle frequenze. Si consideri un processo casuale stazionario, che può essere rappresentato da una sequenza casuale di impulsi di tensione o di corrente che si susseguono a intervalli casuali. Il processo con una sequenza casuale di impulsi non è periodico. Tuttavia, possiamo parlare dello spettro di un tale processo, intendendo in questo caso lo spettro come la distribuzione di potenza sulle frequenze.

Per descrivere il rumore si introduce il concetto di densità spettrale di potenza del rumore (PSD), chiamata nel caso generale anche densità spettrale di rumore (SP), che è determinata dalla relazione:

dove P(F) è la potenza di rumore mediata nel tempo nella banda di frequenza F alla frequenza di misurazione F.

Come segue dalla relazione (2.10), la SD del rumore ha la dimensione di W/Hz. In generale, SP è una funzione della frequenza. Viene chiamata la dipendenza della SD del rumore dalla frequenza spettro energetico, che contiene informazioni sulle caratteristiche dinamiche del sistema.

Se un processo casuale è ergodico, è possibile trovare lo spettro energetico di tale processo mediante la sua unica implementazione, ampiamente utilizzata nella pratica.

Quando si considerano le caratteristiche spettrali di un processo casuale stazionario, spesso risulta necessario utilizzare il concetto di larghezza dello spettro del rumore. L'area sotto la curva dello spettro energetico di un processo casuale riferito alla SD del rumore ad una certa frequenza caratteristica F 0 è chiamato larghezza effettiva dello spettro, che è determinato dalla formula:

(2.11)

Questo valore può essere interpretato come l'ampiezza dello spettro energetico uniforme di un processo casuale in una striscia
, equivalente in potenza media al processo in esame.

Potenza del rumore P racchiuso nella banda di frequenza F 1 …F 2 è uguale a

(2.12)

Se l'SP del rumore nella banda di frequenza F 1 ...F 2 è costante e uguale S 0, quindi per la potenza di rumore in una data banda di frequenza si ha:
dove F=F 2 -F 1 - banda di frequenza passata da un circuito o da un dispositivo di misurazione.

Un caso importante di un processo casuale stazionario è il rumore bianco, per il quale la densità spettrale non dipende dalla frequenza su un ampio intervallo di frequenze (teoricamente, in un intervallo di frequenza infinito). Spettro energetico del rumore bianco nella gamma di frequenza -∞< F < + è dato da:

= 2S 0 = cost, (2.13)

Il modello del rumore bianco descrive un processo casuale senza memoria (senza effetti collaterali). Il rumore bianco si presenta in sistemi con un gran numero di elementi omogenei semplici ed è caratterizzato dalla distribuzione dell'ampiezza delle fluttuazioni secondo la legge normale. Le proprietà del rumore bianco sono determinate dalle statistiche di singoli eventi indipendenti (ad esempio, il movimento termico dei portatori di carica in un conduttore o semiconduttore). Tuttavia, il vero rumore bianco con larghezza di banda infinita non esiste perché ha una potenza infinita.

Nella fig. 2.3. mostra un tipico oscillogramma del rumore bianco (dipendenza dei valori istantanei di tensione dal tempo) (Fig.2.3a) e la funzione di distribuzione di probabilità dei valori istantanei di tensione e, che è una distribuzione normale (Fig. 2.3b). L'area ombreggiata sotto la curva corrisponde alla probabilità di accadimento dei valori istantanei di tensione e superando il valore e 1 .

Riso. 2.3. Un tipico oscillogramma del rumore bianco (a) e la funzione di densità di probabilità dei valori istantanei dell'ampiezza della tensione di rumore (b).

In pratica, quando si valuta l'entità del rumore di un elemento o di un dispositivo a semiconduttore, viene solitamente misurata la tensione di rumore efficace in unità di V 2 o corrente efficace in unità di A 2. In questo caso, la SD del rumore è espressa in unità di V 2 / Hz o A 2 / Hz e le densità spettrali delle fluttuazioni di tensione S tu (F) o corrente S io (F) sono calcolati con le seguenti formule:

(2.14)

dove
e sono la tensione e la corrente di rumore mediate nel tempo nella banda di frequenza F rispettivamente. La barra sopra indica la media nel tempo.

Nei problemi pratici, quando si considerano fluttuazioni di varie quantità fisiche, viene introdotto il concetto di densità spettrale generalizzata delle fluttuazioni. In questo caso, la SD delle fluttuazioni, ad esempio, per la resistenza R espresso in unità di Ohm 2 / Hz; le fluttuazioni nell'induzione magnetica sono misurate in unità di T 2 / Hz e le fluttuazioni nella frequenza dell'oscillatore - in unità di Hz 2 / Hz = Hz.

Quando si confrontano i livelli di rumore in reti lineari a due porte dello stesso tipo, è conveniente utilizzare la densità di rumore spettrale relativa, definita come

=
, (2.15)

dove tu- Caduta di tensione CC su una rete lineare a due porte.

Come si può vedere dall'espressione (2.15), la relativa densità di rumore spettrale S(F) è espresso in unità di Hz -1.

Intendendo un insieme (insieme) di funzioni del tempo mediante un processo casuale, va tenuto presente che funzioni con forme diverse corrispondono a caratteristiche spettrali diverse. La media della densità spettrale complessa determinata da (1.47) su tutte le funzioni porta a uno spettro zero del processo (a M [x(T)]=0 ) per la casualità e l'indipendenza delle fasi delle componenti spettrali nelle diverse implementazioni.

Tuttavia, è possibile introdurre il concetto di densità spettrale del quadrato medio di una funzione casuale, poiché il valore quadratico medio non dipende dal rapporto di fase delle armoniche sommate. Se sotto la funzione casuale x (t) si intende tensione o corrente elettrica, allora il quadrato medio di questa funzione può essere considerato come la potenza media rilasciata in una resistenza di 1 ohm. Questa potenza è distribuita su frequenze in una certa banda, a seconda del meccanismo di formazione di un processo casuale.

La densità spettrale di potenza media è la potenza media per Hz a una data frequenza. ω ... Dimensione della funzione W(ω) , che è il rapporto tra potenza e larghezza di banda, è

La densità spettrale di un processo casuale può essere trovata se si conosce il meccanismo di formazione di un processo casuale. Per quanto riguarda il rumore associato alla struttura atomica della materia e dell'elettricità, questo problema verrà dopo. Qui ci limitiamo ad alcune definizioni generali.

Dopo aver selezionato alcune implementazioni dall'ensemble XK(T) e limitandone la durata ad un intervallo finito T, possiamo applicargli la solita trasformata di Fourier e trovare la densità spettrale X kT (ω). Quindi l'energia del segmento di implementazione considerato può essere calcolata utilizzando la formula:

(1.152)

Dividendo questa energia in T, otteniamo la potenza media k-th implementazione sul segmento T

(1.153)

Quando si aumenta T energia NSkT aumenta, ma il rapporto tende ad un certo limite. Fatto il passaggio al limite, otteniamo:

G
de

rappresenta densità spettrale di potenza media in esame k-th implementazione.

Nel caso generale, la quantità W K (ω) dovrebbe essere mediata su più implementazioni. Limitandoci in questo caso a considerare un processo stazionario ed ergodico, possiamo assumere che la funzione trovata facendo la media su una implementazione W K (ω) caratterizza l'intero processo nel suo complesso. Omettendo l'indice k, otteniamo l'espressione finale per la potenza media di un processo casuale

Per un processo a media zero

(1.156)

È ovvio dalla definizione di densità spettrale (1.155) che W NS (ω) è una funzione pari e non negativa ω.

1.5.3 Relazione tra densità spettrale e funzione di covarianza di un processo casuale

Da un lato, il tasso di cambiamento NS(T) nel tempo determina l'ampiezza dello spettro. Dall'altro lato, tasso di cambio x (t) determina l'andamento della funzione di covarianza. È ovvio che traW NS (ω) e K NS(τ) c'è una stretta relazione.

Il teorema di Wiener - Khinchin afferma che A NS (τ) e W X (ω) sono legati dalle trasformate di Fourier:

(1.157)

(1.158)

Per processi casuali con media zero, espressioni simili sono:

Una proprietà simile alle proprietà delle trasformate di Fourier per segnali deterministici segue da queste espressioni: più ampio è lo spettro di un processo casuale, minore è l'intervallo di correlazione e, di conseguenza, maggiore è l'intervallo di correlazione, più stretto è lo spettro del processo (vedere la Figura 1.20).

Figura 1.20. Spettri a banda larga ea banda stretta di un processo casuale; i confini della fascia centrale: ± F 1

Il rumore bianco è di grande interesse quando lo spettro è uniforme a tutte le frequenze.

Se viene sostituita l'espressione 1.158 WX(ω) = W 0 = const, otteniamo

dove δ (τ) è la funzione delta.

Per il rumore bianco con uno spettro infinito e uniforme, la funzione di correlazione è zero per tutti i valori di tranne τ = 0 al quale R X (0) va all'infinito. Tale rumore, che ha una struttura aghiforme con valori anomali casuali infinitamente sottili, è talvolta chiamato processo correlato al delta. La dispersione del rumore bianco è infinitamente grande.

Domande per l'autotest

Quali sono le caratteristiche principali di un segnale casuale?

Come sono matematicamente correlati la funzione di correlazione e lo spettro di energia di un segnale casuale.

Quale processo casuale è chiamato stazionario.

Quale processo casuale è chiamato ergodico.

Come vengono determinati l'inviluppo, la fase e la frequenza di un segnale a banda stretta

Quale segnale si chiama analitico.

Definizione formale

Sia un segnale considerato per un periodo di tempo. Quindi l'energia del segnale in questo intervallo è uguale a:

dove è la funzione spettrale del segnale. A, potenza media (varianza)

Densità spettrale di potenza (una funzione della densità dello spettro di potenza).

Lo spettro di densità di potenza di un segnale memorizza solo informazioni sulle ampiezze delle componenti spettrali. Le informazioni sulla fase sono perse. Pertanto, tutti i segnali con lo stesso spettro di ampiezza e diversi spettri di fase hanno gli stessi spettri di densità di potenza.

Metodi di valutazione

La stima della PSD può essere eseguita con il metodo della trasformata di Fourier, che presuppone di ottenere uno spettro nel dominio della frequenza mediante una trasformata di Fourier veloce (FFT). Prima dell'invenzione degli algoritmi FFT, questo metodo non era praticamente utilizzato a causa della complessità del calcolo diretto della trasformata discreta di Fourier (DFT). La preferenza è stata data ad altri metodi, in particolare, il metodo funzione di correlazione(Blackman-Tukey) e il metodo del periodogramma.

Guarda anche

Letteratura

• Elaborazione del segnale digitale: un manuale. Goldenberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N. - M .: Radio e comunicazione,.
• Analisi delle serie temporali applicate. Metodi di base. Ha preso R., Enokson L. - M .: Mir,.

Fondazione Wikimedia. 2010.

• Serie spettrale
• Serie spettrale di idrogeno

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1) Nel suo significato fisico, lo spettro di potenza è reale e non negativo:

Pertanto, è fondamentalmente impossibile ricostruire qualsiasi implementazione particolare di un processo casuale dallo spettro di potenza.

2) Poiché l'argomento è una funzione pari, lo spettro di potenza corrispondente è una funzione pari della frequenza. Ne segue che la coppia di trasformate di Fourier (6.14), (6.15) può essere scritta utilizzando integrali in limiti semi-infiniti:

(6.17)

(6.18)

3. È opportuno introdurre il cosiddetto spettro di potenza unilaterale di un processo casuale, definendolo come segue:

(6.19)

La funzione permette di calcolare la varianza di un processo casuale stazionario integrando su positive (frequenze fisiche):

(6.20)

4. Nei calcoli tecnici, viene spesso introdotto uno spettro di potenza unilaterale N (f), che è la potenza media di un processo casuale per intervallo di frequenza largo 1 Hz:

(6.21)

Allo stesso tempo, quanto è facile vedere

Un parametro molto importante dei processi casuali è l'intervallo di correlazione. I processi casuali, di regola, hanno le seguenti proprietà: la loro funzione di correlazione tende a zero all'aumentare del time shift. Più velocemente diminuisce la funzione, minore è la relazione statistica tra i valori istantanei di un segnale casuale in due istanti non coincidenti.

Una caratteristica numerica che serve a valutare il "tasso di variazione" dell'attuazione di un processo casuale è l'intervallo di correlazione determinato dall'espressione:

(6.22)

Se sono note informazioni sul comportamento di qualsiasi implementazione "nel passato", è possibile una previsione probabilistica di un processo casuale per un tempo di ordine.

Un altro parametro essenziale per un processo casuale è l'ampiezza effettiva dello spettro. Lascia che il processo casuale investigato sia caratterizzato da una funzione - uno spettro di potenza unilaterale e - il valore estremo di questa funzione. Sostituiamo mentalmente il dato processo casuale con un altro processo, in cui la densità di potenza spettrale è costante ed uguale all'interno della banda di frequenza effettiva, scelta dalla condizione di uguaglianza delle potenze medie di entrambi i processi:

Questo dà la formula per la larghezza effettiva dello spettro:

(6.23)

Al di fuori della banda specificata, la densità spettrale del processo casuale è considerata uguale a 0.

Questa caratteristica numerica viene spesso utilizzata per calcoli ingegneristici della varianza di un segnale di rumore:.

Se le realizzazioni del processo casuale hanno la dimensione della tensione (V), allora il relativo spettro di potenza N ha la dimensione.

rumore bianco e le sue proprietà. Processo casuale gaussiano.

A) Rumore bianco.

un processo casuale stazionario con una densità spettrale di potenza costante a tutte le frequenze è chiamato rumore bianco.

(7.1)

Secondo il teorema di Wiener-Khinchin, la funzione di correlazione del rumore bianco è:

è zero ovunque tranne che per il punto. La potenza media (dispersione) del rumore bianco è infinitamente alta.

Il rumore bianco è un processo correlato al delta. La non correlazione dei valori istantanei di un tale segnale casuale significa una velocità infinitamente alta della loro variazione nel tempo - non importa quanto piccolo sia l'intervallo, il segnale durante questo tempo può cambiare di qualsiasi valore predeterminato.

Il rumore bianco è astratto modello matematico e il corrispondente processo fisico certamente non esiste in natura. Tuttavia, ciò non interferisce con la sostituzione approssimativa dei processi casuali a banda larga reali con rumore bianco nei casi in cui la larghezza di banda del circuito, che è influenzata da segnale casuale, risulta essere significativamente più stretto dell'ampiezza effettiva dello spettro del rumore.