Spettro di frequenza della funzione Walsh. Trasformata di Walsh e sua applicazione all'elaborazione del segnale. Canali diretti in CDMA

Dimostrare che i coefficienti della serie di Kotelnikov S(T), questi sono valori di segnale in punti temporali T=nt D.

Dimostra che le funzioni di campionamento sinc( T-nt e) e sin( T-mt e) ortogonale a n¹ m.

Determinare la densità spettrale della quantità di moto data dall'espressione analitica S(T)=peccato( T-nt e).

Perché è impossibile avere una funzione che descriva un segnale limitato nel tempo e abbia uno spettro di frequenze limitato?

9. Rappresentazione dei segnali mediante funzioni Walsh

Nel 1923 il matematico americano Walsh J.L. introdusse e studiò le funzioni che portano il suo nome. I segnali discreti basati su funzioni Walsh (FU) sono un sistema completo di funzioni ortogonali del tipo ad onda quadra. Il campo di applicazione delle funzioni Walsh, attualmente piuttosto ampio, è in continua espansione.

Le funzioni Walsh possono essere rappresentate graficamente in vari modi. Tuttavia, nell'intervallo della loro definizione, assumono solo due valori: +1 e –1. Quando si utilizza FU, di solito viene introdotto un tempo adimensionale, quindi.

Sulla fig. 9.1 presenta le prime 8 funzioni Walsh (onde quadre) sull'intervallo dei valori degli argomenti.

Riso. 9.1. Funzioni Walsh ordinate e numerate in base al numero di cambi di segno nell'intervallo.

Notazione accettata wal K(q) è legato all'ortografia del cognome Walsh. Indice K indica il numero di cambi di segno (numero di passaggi per lo zero) da parte della funzione nell'intervallo di definizione. Quindi metà del valore K altrimenti chiamata frequenza di oscillazione wal K(Q). L'area di esistenza di FU è caratterizzata dalla dimensione della base, dove n=1,2,3,.… 9.1 dimensione di base.

Le funzioni Walsh sono ortonormali sull'intervallo:

Le funzioni Walsh hanno la proprietà della moltiplicatività, cioè moltiplicando due FU si ottiene un altro FU, mentre

dove l'operazione denota la somma bit per bit modulo 2 secondo le regole:

1Å1=0; 0Å0=0; 1Å0=1; 0Å1=1.

Moltiplicando il FU per se stesso si ottiene una funzione di ordine zero , poiché il risultato sono solo prodotti della vida. In questo modo,

Moltiplicazione di qualsiasi FU per una funzione di ordine zero, ad es.

non cambia la prima funzione. In questo senso, FU svolge il ruolo di una sorta di funzione "singola".

Naturalmente, il sistema ortonormale completo delle funzioni Walsh consente di rappresentare qualsiasi segnale mediante serie Walsh-Fourier.

.

La procedura per trovare l'ampiezza di ciascuna "armonica rettangolare" della serie Walsh-Fourier è abbastanza semplice: con un segnale noto S(T) per K-che il coefficiente di "armoniche" è determinato dalla formula

.

Esempio: espandere la serie Walsh-Fourier della funzione sull'intervallo, limitato a otto termini dell'espansione (base).

Il passaggio al tempo adimensionale dovrebbe essere designato. Poiché la funzione data S(T) è dispari rispetto a , e tutte le funzioni Walsh con indici pari, compreso lo zero, sono pari in fig. 9.1, quindi i prodotti , dove saranno funzioni dispari e, quindi, l'integrale di questi prodotti è uguale a zero: ñ 0 =ñ 2 =ñ 4 =ñ 6 =0.

Ora calcoliamo i coefficienti e:

Il coefficiente è:

,

dove è indicato e .

Facendo semplici calcoli, puoi ottenere

Quindi, la scomposizione di un'oscillazione sinusoidale S(T) sulla base delle funzioni Walsh con n=8 ha due componenti spettrali diversi da zero con ampiezze e

.

Risultato dell'approssimazione del segnale troncato accanto alle funzioni Walsh e lo spettro di questo segnale in base alle funzioni Walsh è mostrato in Fig. 9.2, un e B rispettivamente.

Riso. 9.2. Rappresentazione di un segnale per espansione su una base ortogonale di funzioni Walsh

L'errore quadratico medio della rappresentazione del segnale mediante una serie troncata secondo le funzioni di Walsh è

Ovviamente, espandere la sinusoide in una serie di Fourier in termini di funzioni trigonometriche offre una migliore precisione. La precisione del 100% è garantita da una riga contenente un solo termine . Ma l'espansione di una funzione meandro rettangolare come wal 1(q) in una serie di Fourier

quando si tengono solo due termini della serie, fornisce una precisione molto peggiore in termini di errore quadratico medio della radice, vale a dire, come segue da, . Naturalmente, lo spettro di una funzione rettangolare in termini di funzioni Walsh conterrà solo un componente e rappresenterà esattamente la funzione originale tramite esso.

Questo esempio illustra il fatto che per ogni specifico tipo di segnale esiste sempre un tale sistema di base, l'espansione in cui fornisce la rappresentazione più compatta di questo segnale con una data precisione (o la rappresentazione più accurata per un dato numero di termini di espansione) .

Le funzioni Walsh sono generate semplicemente dalla generazione di segnali digitali e dai sistemi di elaborazione basati sulla moderna base di elementi.

Le funzioni Walsh sono una famiglia di funzioni che formano un sistema ortogonale e assumono valori solo 1 e −1 sull'intero dominio di definizione.

In linea di principio, le funzioni Walsh possono essere rappresentate in forma continua, ma più spesso sono definite come sequenze discrete di elementi. Un gruppo di funzioni Walsh forma una matrice di Hadamard.

Le funzioni Walsh si sono diffuse nelle comunicazioni radio, dove vengono utilizzate per implementare i canali di divisione del codice (CDMA), ad esempio, in tali standard comunicazione cellulare come IS-95, CDMA2000 o UMTS.

Il sistema delle funzioni Walsh è una base ortonormale e, di conseguenza, consente di scomporre segnali di forme d'onda arbitrarie in una serie di Fourier generalizzata.

Trasformata di Walsh-Hadamard

È un caso speciale della trasformata di Fourier generalizzata, in cui il sistema delle funzioni Walsh funge da base.

La serie generalizzata di Fourier è rappresentata dalla formula:

dove è una delle funzioni di base ed è un coefficiente.

La scomposizione del segnale in funzioni Walsh ha la forma:

In forma discreta, la formula si scrive come segue:

I coefficienti possono essere determinati eseguendo il prodotto scalare del segnale scomposto per la corrispondente funzione Walsh di base:

Occorre tener conto della natura periodica delle funzioni Walsh.

9. Interpolazione: interpretazione spettrale, filtri FIR per interpolazione polinomiale a 0 e 1 ordine; uso della struttura polifase. L'interpolazione è un processo di numeri. elaborazione del segnale, che porta alla formazione di un segnale y(nT) con una frequenza di campionamento aumentata da un segnale x(vT')=x(vLT) con una frequenza di campionamento inferiore sotto determinate restrizioni sui cambiamenti temporali e spettrali nel segnale originale.

Esistono tre tipi di processo di interpolazione DSP:

1. L'aumento della frequenza di campionamento avviene secondo il concetto matematico di interpolazione;

2. Con un aumento della frequenza del disco. i campioni iniziali del segnale discreto x(vT') vengono persi, tuttavia i campioni del segnale di uscita y(nT) possono essere considerati come campioni dell'originale segnale analogico x(t), da cui si forma il segnale discreto iniziale x(vT') campionando con l'intervallo T'. In questo caso, la forma dell'inviluppo del segnale x(vT') e y(nT) (e lo spettro) non cambia;

3. Un aumento della frequenza di campionamento comporta un cambiamento nella forma del segnale interpolato, ma il modulo dello spettro non cambia.

D-sampler con intervallo di campionamento T'=LT., l'interpolatore AI-ideal aumenta la frequenza di campionamento. in un intero L. Dopo l'AI, il segnale può essere considerato come il risultato del campionamento del segnale analogico originale x(t) con un intervallo di campionamento T=T'/L. , Hφ-sistema discreto con caratteristica di frequenza .

Interpolazione di frequenza del processo con un fattore intero L:

a) lo spettro del segnale analogico originale. b) lo spettro del segnale campionato con frequenza di campionamento fd. c) lo spettro del segnale campionato con frequenza di campionamento fd'=3fd.

POI. il processo di aumento della frequenza di campionamento (interpolazione) - trasformando lo spettro da b) a c), ovvero sopprimendo le componenti di frequenza "extra" dello spettro originale.

L'aumento della frequenza di campionamento del segnale originale del numero richiesto di volte L viene eseguito dall'espansione della frequenza di campionamento (ESD).

Uso di una struttura polifase in interpolazione mediante filtri FIR. La particolarità di questa struttura è che al posto di un filtro operante ad alta frequenza di campionamento vengono utilizzati più filtri operanti a bassa frequenza. Un filtro polifase è un insieme di piccoli filtri operanti in parallelo, ognuno dei quali elabora solo un sottoinsieme dei campioni di segnale (se ci sono N filtri in totale, ogni filtro elaborerà solo ogni N° campione). Circuito equivalente di struttura polifase:

Progettazione di filtri FIR per l'interpolazione polinomiale di ordine 0 e 1.

Ordine zero. Quando si calcola il campione successivo del segnale di uscita y(nT) con un intervallo di campionamento T, viene utilizzato solo un campione del segnale interpolato in ingresso x(vT') con un intervallo di campionamento T'. Con un aumento della frequenza di campionamento di L volte, il segnale x(vT') viene ripetuto L volte sui cicli n=vL, vL+1, …,vL+L-1:

y(nT)=x(vT'), n=vL, vL+1, …,vL+L-1, v=0,1,2,…

Il processo di interpolazione di ordine zero è mostrato nella figura seguente, dove Tz è il ritardo introdotto dal filtro.

Funzione di trasferimento del filtro

Implementazione di un filtro uniforme:

Il segnale di ingresso x(vT') viene scritto nel registro RG con una frequenza fd'=1/T', e il segnale y(nT) viene letto con una frequenza fd=Lfd'=1/T. Primo ordine (interpolazione lineare). Sia dato il segnale x(n)=cos(2πn∙0.125). Tra ogni conteggio rif. I campioni L-1 vengono inseriti nella forma d'onda (sovracampionamento). Registrato Funzione di trasmissione

10. Decimazione: interpretazione spettrale, filtri FIR per decimazione polinomiale a 0 e 1 ordine; uso di una struttura polifase La decimazione è il processo di riduzione della frequenza di campionamento di un segnale.

Si consideri il segnale x(t), il modulo del suo spettro a).

segnale x(nT)-campionato con intervallo di campionamento T, suo modulo del suo spettro nel primo caso b), nel secondo d).

segnale x(lambdaT)-campionato x(t) con intervallo di campionamento T'=MT.(M=2), il suo modulo spettrale nel primo caso c), nel secondo e).

Caso 1. Quando si campiona con una frequenza wd1, la condizione wd1 2Mwmax (nel nostro caso wd1 4wmax) è soddisfatta. Il segnale può essere ricostruito poiché lo spettro non si sovrappone.

Caso 2. Durante la discretizzazione con una frequenza wd2, la condizione wd2 2Mwmax non era soddisfatta. Il segnale non può essere ripristinato, perché lo spettro è sovrapposto.

Per eseguire l'operazione di decimazione per un numero intero di volte M, è necessario che la frequenza di campionamento wd del segnale x(nT) da decimare soddisfi la condizione wd 2Mwmax.

L'operazione di decimazione viene eseguita utilizzando un compressore a frequenza di campionamento (SFR) (figura a sinistra). QCHD è una chiave che si chiude negli istanti t=nMT=lambdaT', ovvero solo ogni M-esimo campione viene prelevato dal segnale di ingresso x*(nT) con un intervallo di campionamento T e genera un segnale x(lambdaT') = x*(lambdaMT ) con intervallo di campionamento T=MT

Utilizzo di una struttura polifase in decimazione mediante filtri FIR. Questa struttura contiene M rami di elaborazione paralleli, ognuno dei quali contiene un filtro che opera a una frequenza di campionamento "bassa" (uscita). L'equazione che descrive la struttura polifase della decimazione è:

Dove M è un coefficiente intero,

G-intero, r=0, 1,…,M-1.

Quelli. la sequenza di uscita y(lambdaT') del circuito è la somma di M sequenze yk(lambdaMT'), k=0,1,…,M-1, ognuna delle quali è a sua volta il risultato del filtraggio della sequenza yk*( lambdaMT')=x(lambdaMT -kT) filtro discreto con PF Hk*(zM) e risposta impulsiva brk=brM+k, dove i campioni di risposta all'impulso del filtro k-esimo sono i campioni di risposta all'impulso bl del filtro prototipo presi attraverso il campione M-1.

Progettazione di filtri FIR per decimazione polinomiale di ordine 0 e 1.

Circuito di downsampling

Ordine zero. Come filtro se ne utilizza uno omogeneo, la cui funzione di trasferimento è:

Risposta in frequenza di un filtro omogeneo

La condizione in cui viene selezionato l'ordine del filtro: N=k*M.

Primo ordine. Come filtro viene utilizzato un filtro triangolare con PF.

Da (2.48) otteniamo

(2.49)

Tenendo conto che le funzioni Walsh sono uguali a ±1, scriviamo l'espressione (2.49) nella forma

(2.50)

dove a n (k) = 0 o 1, determina il segno della funzione Walsh sull'intervallo
Esempi di spettri Walsh.

1. Spettro Walsh di un impulso rettangolare s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ t (Fig. 2.9)

Da (2.50) troviamo

Lo spettro Walsh di un impulso rettangolare dipende dalla relazione tra m e T. Per τ/T = 2 v dove v è un intero positivo, tenendo conto dei valori delle funzioni Walsh, otteniamo

L'espansione di un impulso rettangolare nelle funzioni Walsh ha la forma

Lo spettro è costituito da 2 componenti V con ampiezze uguali pari a 1/2 V . Lo spettro contiene un numero finito di componenti. A t/T≠ 2 V la struttura dello spettro cambierà.

2. Spettro Walsh di un impulso triangolare (Fig. 2.10) Quando si descrive un impulso triangolare

conviene passare al tempo adimensionale x= t/T

In accordo con (2.50) troviamo:

Gli spettri Walsh con numerazione Harmuth e Paley sono mostrati in Fig. 2.10, b e c.

3. Spettro Walsh di un impulso sinusoidale (Fig. 2.11)

Per un impulso sinusoidale

passando al tempo adimensionale x = t/T, scriviamo

Dalla (2.50) nel sistema di Harmut troviamo (Fig. 2.11):

Gli spettri Walsh del segnale considerato con numerazione Harmut e Paley sono mostrati in Fig. 2.11.6 e c.

2.7A. Proprietà degli spettri Walsh

Quando si analizzano i segnali utilizzando le funzioni Walsh, è utile tenere conto delle proprietà della decomposizione del segnale nella base Walsh - spettri Walsh.

1. Lo spettro della somma dei segnali è uguale alla somma degli spettri di ciascuno dei segnali.

Lo spettro del segnale nel sistema delle funzioni Walsh è determinato dai coefficienti di espansione (2.47). Per la somma dei segnali, i coefficienti di espansione sono determinati dall'espressione

(2.52)

dove a pc - i coefficienti di espansione del segnale sk (t).

2. Moltiplicando il segnale per la funzione Walsh con il numero n cambia i numeri dei coefficienti di espansione da k secondo la legge dello spostamento binario modulo due

3. Spettro Walsh del prodotto dei segnali s 1 (t) e s 2 (t). definito sull'intervallo. Tali funzioni descrivono segnali periodici con potenza limitata.

Per una funzione pari s(t), come segue da (3.2),

(3.3)

per una funzione dispari s(t):

(3.4)

Di solito, quando si analizzano i segnali, nella forma viene utilizzata l'espansione di s(t).

(3.5)

Un segnale periodico è rappresentato come somma di componenti armoniche con ampiezze À n e fasi iniziali.

L'insieme delle ampiezze (D,) determina lo spettro dell'ampiezza e l'insieme delle fasi iniziali (φ n) determina lo spettro delle fasi del segnale (Fig. 3.1, a). Come segue da (3.5), gli spettri dei segnali periodici sono discreti o lineari, l'intervallo di campionamento della frequenza è uguale alla frequenza del segnale ω 1 = 2π/Т.

La serie trigonometrica di Fourier può essere scritta in forma complessa

(3.7)

(3.8)

Il passaggio dalla (3.1) alla (3.7) è ovvia vista la formula di Eulero

(3.9)

I coefficienti con n sono generalmente quantità complesse

Quando si utilizza la forma complessa della serie di Fourier, il segnale è determinato dall'insieme delle ampiezze complesse (con n). Moduli di ampiezze complesse |с n | descrivere lo spettro di ampiezza, gli argomenti φ n - lo spettro di fase del segnale (Fig. 3.1.6).

Rappresentare (3.8) nella forma

(3.11)

Come risulta dalle espressioni scritte, lo spettro di ampiezza ha una simmetria pari e lo spettro di fase ha una simmetria dispari

(3.13)

Da un confronto delle espressioni (3.2) e (3.11) segue

Ad esempio, si consideri una sequenza periodica di impulsi rettangolari (Fig. 3.2, a). Espandendo una sequenza periodica di impulsi rettangolari in una serie trigonometrica di Fourier, da (3.2) otteniamo gli spettri di ampiezza e fase nella forma (Fig. 3.2, b):

Quando si utilizza la forma complessa della serie di Fourier
dalla (3.8) segue:

L'ampiezza e gli spettri di fase del segnale sono uguali

La forma limitante della serie di Fourier è l'integrale di Fourier. Un segnale periodico a T → ∞ diventa non periodico. Sostituendo (3.8) in (3.7), scriviamo

(3.16)

Analisi Armonica segnali

Trasformando la (3.16), come T→∞ (in questo caso ω 1 → dω e Пω 1 = ω), otteniamo

(3.17)

L'integrale di Fourier è scritto tra parentesi quadre e descrive la densità spettrale del segnale

L'espressione (3.17) assume la forma

I rapporti registrati rappresentano le trasformate di Fourier dirette e inverse. Sono usati nell'analisi armonica. segnali non periodici.

3.2. Analisi armonica di segnali non periodici

Le trasformate di Fourier diretta e inversa stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra il segnale (la funzione del tempo che descrive il segnale s(t)) e la sua densità spettrale S(ω):

(3.18)

Indichiamo la corrispondenza di Fourier:

(3.19)

La condizione per l'esistenza della trasformata di Fourier è l'assoluta integrabilità della funzione s(t)

(3.20)

Nelle applicazioni pratiche è più conveniente la condizione di integrabilità del quadrato di questa funzione

(3.21)

Per i segnali reali, la condizione (3.21) è equivalente alla condizione (3.20), ma ha un significato fisico più ovvio: condizione (3.21) significa energia del segnale limitata. Quindi, possiamo considerare possibile applicazione Fourier si trasforma in segnali con energia limitata. Questi sono segnali non periodici (a impulsi). Per i segnali periodici, l'espansione armonica

I componenti tecnici sono prodotti utilizzando una serie Fourier.

La funzione S(ω) è generalmente complessa

dove Re, lm sono la parte reale e quella immaginaria del valore complesso; |s(w)|, φ(oo) - modulo e argomento di una quantità complessa:

Modulo di densità spettrale del segnale |S(ω)| descrive la distribuzione delle ampiezze delle componenti armoniche in frequenza, è chiamato spettro di ampiezza. L'argomento φ(ω) fornisce la distribuzione della fase sulla frequenza, chiamata spettro di fase del segnale. Lo spettro di ampiezza è una funzione pari e lo spettro di fase è una funzione dispari della frequenza

Tenendo conto della formula di Eulero (3.9), scriviamo l'espressione per S(ω) nella forma

(3.24)

Se s(t) è una funzione pari, allora dalla (3.24) otteniamo

(3.25)

La funzione S(ω), come segue dalla (3.25), è una funzione reale. Lo spettro di fase è definito come

(3.26)

Per una funzione dispari s(t) dalla (3.24) otteniamo

(3.27)

La funzione S(ω) è puramente immaginaria, lo spettro di fase

(3.28)

Qualsiasi segnale può essere rappresentato come la somma delle componenti pari s h (t) e dispari s H (t).

(3.29)

La possibilità di tale rappresentazione diventa chiara in considerazione delle seguenti uguaglianze:

Da (3.24) e (3.29) otteniamo

(3.30)

Pertanto, per la parte reale e immaginaria della densità spettrale del segnale, possiamo scrivere:

Pertanto, la parte reale della densità spettrale rappresenta la trasformata di Fourier della componente pari, la parte immaginaria - della componente dispari del segnale. La parte reale della complessa densità spettrale del segnale è pari e la parte immaginaria è una funzione dispari della frequenza.

Densità del segnale spettrale a ω = 0

(3.31)

è uguale all'area sotto la curva s(t).

A titolo di esempio, otteniamo gli spettri di alcuni segnali.

1. Impulso rettangolare (Fig. 3.3, a)

dove τ e - durata dell'impulso.

Densità spettrale del segnale

I grafici degli spettri di ampiezza e fase del segnale sono mostrati in fig. 3.3, b, c.

2. Il segnale descritto dalla funzione

La densità spettrale del segnale è determinata dall'espressione

Integrando per parti n-1 volte, otteniamo

Segnale (Fig. 3.4, a)

ha una densità spettrale

I grafici degli spettri di ampiezza e fase sono mostrati in fig. 3.4, b, c.

Segnale (Fig. 3.5, a)

ha una densità spettrale

Grafici degli spettri di ampiezza e fase - fig. 3.5, b, c.

Il numero di esempi aumenta la tabella. 3.1.

Il confronto di (3.18) e (3.8) mostra che densità spettrale singolo impulso a τ<

Tenendo conto della relazione di cui sopra, la determinazione dello spettro di un segnale periodico in alcuni casi può essere semplificata utilizzando la trasformata di Fourier (3.18). I coefficienti della serie di Fourier si trovano come

(3.32)

dove S(ω) è la densità spettrale di un impulso.

Pertanto, quando si determina l'ampiezza e gli spettri di fase dei segnali periodici, è utile tenere presente le seguenti uguaglianze:

Il coefficiente 1/T può essere considerato come l'intervallo di frequenza tra componenti adiacenti dello spettro e la densità spettrale come il rapporto tra l'ampiezza della componente del segnale e l'intervallo di frequenza a cui corrisponde l'ampiezza. Con questo in mente, il termine "densità spettrale" diventa più comprensibile. L'ampiezza continua e gli spettri di fase di un singolo impulso sono inviluppi di ampiezza discreta e spettri di fase di una sequenza periodica di tali impulsi.

Con l'ausilio delle relazioni (3.33), i risultati riportati in Tabella. 3.1 può essere utilizzato per determinare gli spettri dei treni di impulsi periodici. Questo approccio è illustrato dai seguenti esempi.

1. Sequenza periodica di impulsi rettangolari (Tabella 3.1, punto 1), fig. 3.2.

L'espressione scritta ripete il risultato dell'esempio p.3.1.

2. Sequenza periodica degli impulsi del meandro (Tabella 3.1, punto 2), fig. 3.6, fig. 3.2.

3. Sequenza periodica di impulsi esponenziali (Tabella 3.1, punto 8), fig. 3.7.

Tabella 3.1

Segnali e loro spettri

3.3. Spettri di frequenza dei segnali presentati come serie di Fourier generalizzata

Quando si rappresenta un segnale come una serie di Fourier generalizzata, è utile avere la trasformata di Fourier delle funzioni di base. Questo ci permetterà di passare dallo spettro in base a vari sistemi ortogonali allo spettro di frequenza. Di seguito sono riportati esempi degli spettri di frequenza di alcuni tipi di segnali descritti dalle funzioni di base dei sistemi ortogonali.

1.Segnali della leggenda.

La trasformata di Fourier del polinomio di Legendre (Sezione 2) ha la forma

(3.34)

n= 1,2, ... - Polinomio di Legendre; è la funzione di Bessel.

Usando (3.34), dal segnale rappresentato come una serie

con coefficienti

(3.35)

L'espressione (3.35) descrive la densità spettrale del segnale s(f) come una serie.

I grafici delle componenti dello spettro con i numeri 1 - 3 sono mostrati in Fig. 3.8.

2. Segnali di Laguerre.

La trasformata di Fourier della funzione di Laguerre ha la forma

(3.36)

n= 1,2,... sono le funzioni di Laguerre.

Utilizzando la (3.36), dal segnale rappresentato come una serie di espansioni nei polinomi di Laguerre (Sez. 2)

con coefficienti

puoi andare alla densità spettrale del segnale

(3.37)

3. Segnali di Hermite.

La trasformata di Fourier della funzione Hermite ha la forma

(3.38)

n= 1,2,... sono funzioni Hermite.

Segue dalla (3.38) che le funzioni di Hermite hanno la proprietà di trasformabilità, cioè le funzioni e le loro trasformate di Fourier sono uguali (fino a coefficienti costanti). Utilizzando la (3.38), dal segnale rappresentato come una serie di espansioni in termini di polinomi Hermite

con coefficienti

puoi andare alla densità spettrale del segnale

(3.39)

4. Segnali Walsh.

Gli spettri di frequenza dei segnali Walsh (segnali descritti dalle funzioni Walsh) sono determinati dalla seguente trasformata di Fourier:

(3.40)

dove wal(n,x) è la funzione Walsh.

Poiché le funzioni Walsh hanno N segmenti di valori costanti,

dove x k è il valore di x sull'intervallo k-esimo.

Da (3.41) otteniamo

dove

Poiché le funzioni Walsh assumono i valori ±1, allora la (3.42) può essere scritta come

(3.43)

dove a n (k) = 0 o 1 determina il segno della funzione wal(n,x k).

Sulla fig. 3.9 mostra i grafici degli spettri di ampiezza dei primi sei segnali Walsh.

3.4. Spettri di segnali descritti da funzioni non integrabili

La trasformata di Fourier esiste solo per segnali ad energia finita (per i quali la condizione (3.21) è soddisfatta). Ampliare la classe dei segnali analizzati utilizzando la trasformata di Fourier, consente una tecnica puramente formale basata sull'introduzione del concetto di densità spettrale per la funzione dell'impulso. Diamo un'occhiata ad alcuni di questi segnali.

1. Funzione di impulso.

La funzione di impulso (o δ - funzione) è definita come

(3.44)

La definizione della funzione impulso implica la sua proprietà di filtraggio

(3.45)

Definiamo la densità spettrale della funzione di impulso come

(3.46)

Lo spettro di ampiezza è uguale all'unità, lo spettro di fase è φ(ω) = ωt 0 (Fig. 3.10).

La trasformata di Fourier inversa dà

Per analogia con la (3.47) per il dominio della frequenza, scriviamo

(3.48)

Utilizzando le espressioni ottenute, determiniamo le densità spettrali di alcuni tipi di segnali descritti da funzioni per le quali non esiste la trasformata di Fourier.

2. Segnale costante s(t) = s 0 .

Tenendo conto della (3.48), otteniamo (Fig. 3.11)

(3.49)

3. Segnale armonico.

La densità spettrale del segnale sarà ottenuta, tenendo conto della (3.48), nella forma

Per φ = 0 (Fig. 3.12)

Per Segnale

(3.53)

per analogia con la (3.52) troviamo

4. Funzione passo singolo.

(3.55)

La funzione di passo unitario σ(t) sarà considerata come la forma limitante della quantità di moto esponenziale

Rappresentiamo la quantità di moto esponenziale come la somma delle componenti pari e dispari (3.29)